第二章 传感器的基本特性
主要内容：
2.1 传感器静态特性
2.2传感器动态特性
要点：
静态特性；线形度、迟滞、重复性、灵敏度、稳定性
动态特性；数学模型、过度函数、频率特性、幅频特性
概述
传感器一般要变换各种信息量为电量，描述这种变换的输入与输出关系表达了传感器的基本特性。对不同的输入信号，输出特性是不同的，对快变信号与慢变信号，由于受传感器内部储能元件（电感、电容、质量块、弹簧等）的影响，反应大不相同。快变信号要考虑输出的动态特性，即随时间变化的特性；慢变信号要研究静态特性，即不随时间变化的特性。
例：放射性仪器不同性能的探测器测量性能差别
传感器的各种性能由传感器输入与输出之间的关系来描述，视传感器为具有输入输出的二端网络。
* 当输入量（X）为静态（常量）或变化缓慢的信号时（如温度、压力），讨论传感器的
静态特性，输入输出关系称静态特性。
* 当输入量（X）随时间变化时（如加速度、振动），讨论传感器的动态特性，输入输出
关系称动态特性。
2.1传感器静态特性
2.1.1线性度
传感器输入输出关系可以用多项式表示：
其中：X：输入量；Y：输出量；a0：x = 0时的输出（y）值；a1：理想灵敏度；
a2, a3,……an：为非线性项系数
一个理想的传感器我们希望它们具有线性的输入输出关系，由于实际传
感器输入总有非线性（高次项）存在，X-Y总是非线性关系。在小范围内用割线、切线近似代表
实际曲线使输入输出线性化。近似后的直线与实际曲线之间存在的最大偏差称传感器的非线性误差——线性度，通常用相对误差表示：
式中： ΔLmax为最大非线行绝对误差 YFS 为满量程输出 γL为线性度
提出线性度的非线性误差，必须说明所依据的基准直线，按照依据基准直线不同有不同的线性度：理论线性度,端基线性度,独立线性度。
最小二乘法线性度设拟合直线方程 :
………①
取n个测点，第i个测点与直线间残差为：
……… ②
根据最小二乘法原理取所有测点的残差平方和为最小值：
求解k、b代入方程①作拟合直线，实际曲线与拟合直线的最大残差Δimax为非线性误差，最小二乘法求取的拟合直线拟合精度最高，也是最常用的方法。
2．1．2迟滞
传感器在正、反行程期间，输入、输出曲线不重合的现象称迟滞。
例：一个电子秤称重
加砝码10g --- 50g --- 100g --- 200g
电桥输出0.5mv --- 2mv --- 4mv--- 10mv
减砝码输出1mv --- 5mv --- 8mv--- 10mv
产生这种现象的原因是由敏感元件材料的物理性质缺陷造成，如；弹性元件的滞后，铁磁体、铁电体在外加磁场、电场也有这种现象。
迟滞误差一般由满量程输出的百分数表示
为正、反行程输出值间的最大差值
2．1．3重复性
传感器输入量按同一方向作多次测量时，输出特性不一致的程度。属于随机误差，可用标准偏差表示：
σmax 最大标准差；
（2—3）置信度，置信概率 2* 95.4;3 *99.7
或用最大重复偏差表示：
2．1．4灵敏度
在稳定条件下，输出微小增量与输入微小增量的比值。对线性传感器灵敏度就是直线的斜率：
对非线性传感器灵敏度为一变量
由于传感器输入一般为非电量，输出为电量灵敏度单位：mv/mmmv/℃ 等。传感器电压不同，需要除以总电压，灵敏度的定义应为每伏电压的灵敏度，
单位：mv/mm.vmv/℃.v 等。
2．1．5分辨率和阈值
分辨率是指传感器能够检测道德最小输入增量；阈值指输入小到某种程度时输出不再变化的ΔX称为阈值，或称门槛灵敏度，指输入零点附近的分辨能力。
存在门槛的原因有两个：
一是输入的变化量被传感器内部吸收反映不到输出；
二是传感器输出存在噪声，信号必须大于噪声电平。
2．1．6稳定性
表示传感器在一较长时间内保持性能参数的能力。理想情况，不随时间变化，实际情况，大多数传感器特性会随时间延长发生变化，如：放置长期不用、使用次数增度多、随温度漂移等。应对使用仪器的日、月、年变化情况做到有记录和数据。
例：射线仪器稳定性检查
2．2 传感器动态特性
传感器动态特性是指传感器输出对时间变化的输入量的响应特性：
通常除理想状态，输出信号一定不会与输入信号有相同的时间函数，这种输入输出之间的差异就是动态误差，既反映了传感器的动态特性。下面用动态测温说明。
动态测稳的几种情况：
• 被测温度随时间快速变化T(t)；
• 传感器突然插入被测介质中；
• 传感器以扫描方式测量温度场分布。
设环境温度为T0 OC,水槽中水的温度为T OC，而且 T ＞ T0 ,用热电偶测温。把温度
传感器（热电偶）迅速插入水中。
理想情况；测试曲线在t0处温度从T0T是阶跃变化；
实际特性；热电偶输出的值是缓慢变化，经历t0t 时间；
存在一个过渡过程，这个过程与阶跃特性的误差就是动态误差，
产生这种动态误差的原
因是温度传感器的热惯性、传热热阻引起的，是温度传感器固有的影响动态特性的“固有因素”任何传感器都有，只是表现形式不同。
影响动态特性除固有因素外，还与输入信号变化的形式有关；动态特性一般从频域和时域两方面研究，用正弦信号、阶跃信号做标准信号，输入正弦信号，分析动态特性的相位、振幅、频率，称频率响应或频率特性。 输入阶跃信号分析传感器的过渡过程和输出随时间变化情况，称阶跃响应或瞬态响应
2.2．1传递函数
传感器是一信号转换元件，当外界有一激励施加于系统时，系统对外界有一响应，系统本身的传输、转换特性可由传递函数表示，为分析动态特性首先要写出数学模型求出传递函数。
设输入量是力，系统是存在阻尼、弹性、惯性元件的传感器。当输入量随时间变化时，在力的作用下，输出Y（t）不仅与位移有关，还与速度、加速度相关。略去影响小的因素，假设传感器输入、输出在线性范围变化，它们的关系可用高阶常系数线性微分方程表示：
式中：Y输出；X输入；ai、bi为常数；
当，时，拉氏变换定义为：
其中：S—拉氏变换算子；
—收敛因子
将微分方程表示等式两边取拉氏变换：
传感器的传递函数为：
传递函数在数学上的定义是：
初始条件为零（，），输出拉氏变换y(s)与输入拉氏变换x（s）之比，即输出拉氏变
换等于输入拉氏变换乘以传递函数。
将频域变换为时域，求逆变换得出
一般
传递函数可简化为：
分母多项式中，因子，传递函数可写成：
方程式中有n个根，总可以分解为一次和二次的实系数
式中每个因子式可以看成一个子系统的传递函数，其中：是零阶系统传递函数；
是一阶系统传递函数；是二阶系统传递函数
• 零阶系统（特例）
当传递函数中时，只有、不为零，
称零阶系统，零阶系统无时间滞后，可精确的跟踪输入状态，电位器是典型的零阶传
感器。
• 一阶系统（RC回路）
当传递函数中时，只有不为零
称一阶系统，RC回路是典型的一阶系统
• 二阶系统（RLC回路）
当传递函数中时，只有不为零
传递函数中分子的阶次小于分母的阶次，即型是阶就称阶传感器。
，用分母的阶次代表传感器的特征，数学模
一个高阶系统可以看成若干个零阶、一阶、二阶系统串联，传感器种类很多，一般可简化为一阶或二阶系统，高阶传感器较少，也可分解成若干低阶环节。
2．2．2一阶系统的动态响应（惯性系统）
具体一阶传感器，弹簧——阻尼系统
一阶系统传递函数
式中：；为静态灵敏度，为使计算方便可令灵敏度，做归一化处理。
；时间常数（量纲为时间）
一阶系统传递函数可简化为：
• 一阶系统的阶跃响应（瞬态响应）
瞬态响应特征是指输入信号从某一个稳定状态变化到另一个稳定状态时，输出信号到达新稳定值以前的响应特性。
一个初始状态为零的传感器，输入一单位阶跃信号时：
单位阶跃信号
因为单位阶跃信号为：；
单位阶跃信号的拉氏变换：；或；
所以一阶系统的阶跃响应的拉氏变换为：
由拉氏变换的反变换得到一阶传感器的单位阶跃响应信号为：
信号包括稳态和暂态两个分量，用
作图得到一阶传感器的单位阶跃响应如下图。
讨论：
• 暂态响应是指数函数，输出曲线成指数变化，逐渐达到稳定；
• 理论上t——∞时才能达到稳定，
当t=τ时,y(t) = k(1-e-1) = 0.632k,
达到稳定值的63.2%，可见τ越小越
好，所以时间常数τ是反映一阶传感
器的重要参数；
• 实际运用时，t = 4τ时（98.2%）工程上认为已达到稳定；一阶传感器的单位阶跃响应特
性
• 由曲线看出，它与动态测温相似，所以动态测温是典型的一阶传感器系统。
• 一阶传感器的频率响应
• 输入一个周期变化的信号，讨论系统输出的振幅和频率变化特性。
设输入一正弦信号，振幅一定：
拉氏变换后为：
由传递函数求输出一阶传感器的响应：
求反变换得出：
其中：
输出有个两部分，瞬态响应和稳态响应成分；
（第一项）瞬态响应成分随时间t上升逐渐消失，忽略瞬态响应，稳态响应整理后为：
其中：
幅频特性
相频特性
讨论：
• 一阶系统只有在时间常数τ很小时（τ<< 1）才近似零阶系统特性；
A（ω）≈ k(1),φ（ω）≈ 0;输出y(t)反映输入x(t)
• 当τ= 1 时，传感器灵敏度下降了3dB，
A（ω）= 0.707k，如果灵敏度下降到3Db时的
频率为工作频率上限，
则：上限频率为 WH=1/τ，一阶传感器的频率响应曲线
所以时间常数τ越小，WH越高，工作频率越宽，响应越好。
• 另外，ωτ<< 1 时，A（ω）/ k ≈ 1，φ（ω）≈ 0；
输入输出关系接近线性，输出较真实反映输入变化。
• 一阶系统描述传感器的动态响应主要取决于时间常数τ，τ越小越好，减少时间常数τ可改
善传感器频率特性，加快响应过程。
2．2．3二阶系统的动态响应（振动系统）
实际二阶系统属于测力、振动传感器，如质量、弹簧、阻尼系统。
二阶系统的传递函数：
式中：
，为静态灵敏度，归一化处理后；
，无阻尼固有频率，由传感器的结构决定；
，为阻尼比。
• 二阶系统的阶跃响应——时域求解
输入阶跃信号的拉氏变换为：
输出拉氏变换为：
输出拉氏变换的反变换为：
其中：
用作图，不同阻尼比ξ值曲线形式不同
二阶系统的阶跃响应特性曲线
讨论：
• 固有频率（由传感器结构决定）ωn越高响应曲线上升越快，当ωn为常数时响应取决于阻
尼比ξ。
• 阻尼比ξ越大，过冲现象减弱，ξ≥ 1时无过冲，不存在振荡；
阻尼比直接影响过冲量和振荡次数，根据阻尼比ξ大小可分四种情况：
ξ=0零阻尼，等幅振荡，产生自激永远达不到稳定；
ξ< 1欠阻尼，衰减振荡，达到稳定时间随ξ下降而加长；
ξ=1临界阻尼，响应时间最短；
ξ > 1过阻尼，稳定时间较长。
• 实际应用中取稍有一点欠阻尼调整ξ取0.6—0.8原则是过冲量不太大，稳定时间不太长。
• 二阶系统的频率响应——频域求解
一个起始静止的二阶系统输入正弦信号，频率为ω时输出拉氏变换为：
幅频特性
相频特性
二阶系统的频率响应特性曲线
讨论：
• 当ξ<1(或ξ<0.707),且ωn>>ω(或ω/ωn<<1)时，幅值A(ω) ≈ 1，φ（ω）≈ 0；
• 当ξ<1, 且=ω(ω/ωn=1)时，在ω/ωn=1附近有个峰值，会产生共振，相位差900-1800；
• 传感器固有频率ωn至少应大于被测信号频率的3—5倍（ωn≥（3～5）ω），保证增益避
免共振。
• 二阶传感器对阶跃信号的响应和频率响应特性好坏很大程度取决于阻尼比ξ和传感器的固
有频率ωn
第2章小结
1.检测系统只着重输入和输出关系的传递函数表示方法；
2.系统方程式状态变量是一次的系统，尤其系统都是常数的系统叫线性常系数系统，我们课程以后讨论的都是以线性常系数系统为对象。
3.一阶系统状态变量是一个，二阶系统状态变量是两个，一般情况下，有n个状态变量的系统叫n阶系统。
本章要点：
1.传感器的静态特性指标包括：线性度、迟滞、重复性、灵敏度、稳定性。
2.传感器的动态特性参数有：瞬态响应特性，频率响应特性。
3.分别讨论一阶传感器、二阶传感器的传递函数、传感器幅频特性、相频特性。
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