19.2.2菱形的判定与性质
农安县合隆中学 徐亚惠 一．选择题（共8小题）
1．下列说法中，错误的是（ ） A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）
A．2
B．
C．3
D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论： ①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE． 其中正确的个数是（ ）
桑水
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A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
7．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．有一条对角线平分对角的四边形是菱形 C．菱形是对角线互相垂直平分的四边形 D．菱形的对角线相等
8．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共5小题）
9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= _________ ．
桑水
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10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=4，则四边形CODE的周长为 _________ ．
11．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是 _________ ．（填序号） ①图中共有3个菱形； ②△BEP≌△BGP；
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半； ④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．
12．如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABCD，已知∠BAD=60度，则重叠部分的面积是 _________ cm2．
13．如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，则∠BCF的度数为 _________ ．
三．解答题（共7小题）
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC． （1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．
桑水
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15．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BE⊥CD于E交AD的延长线于F，DC=2AD，AB=BE． （1）求证：AD=DE．
（2）求证：四边形BCFD是菱形．
16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． （1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE． （2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．
18．已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN． （1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形； （2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．
桑水
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19．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BD相交于点N，连接MB，ND． （1）求证：四边形BMDN是菱形； （2）若AB=1，AD=2，求MD的长．
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．
（1）证明：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=1，BC=3，求菱形AECF的边长．
桑水
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19.2.2菱形的判定与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列说法中，错误的是（ ） A． 平行四边形的对角线互相平分
B． 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C． 菱形的对角线互相垂直
D． 对角线互相垂直的四边形是菱形
考点： 菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质． 分析： 根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案． 解答： 解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故故选：D． 点评： 主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A． 4 B．6 C．8 D． 10
考点： 菱形的判定与性质；矩形的性质． 分析： 首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案． 解答： 解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8． 故选C． 点评： 此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
桑水
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3．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）
A． 2
B．
C．3
D．
考点： 菱形的判定与性质；三角形的面积． 专题： 计算题． 分析： 设AP，EF交于O点，四边形AFPE为平行四边形，可得△AEO的面积=△FOP的面积，所以阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积． 解答： 解：设AP，EF交于O点， ∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，
∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积， ∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半， 菱形ABCD的面积=AC•BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5． 故选：B． 点评： 本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A． 4 B．6 C．8 D． 12
考点： 菱形的判定与性质． 专题： 计算题． 分析： 在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，利用平行线的性质可证△ACD，△ABC为等腰三角形，又AB=CD，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长． 解答： 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠1=∠4，∠2=∠3， ∵AC平分∠DAB， ∴∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AD=DC，
四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
桑水
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故选C．
点评： 本题考查了菱形的判定与性质．关键是根据平行四边形的性质，AC平分∠DAB，得出等腰三角形．
5．如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论： ①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE． 其中正确的个数是（ ）
A． 1 B．2 C．3 D． 4
考点： 菱形的判定与性质；等边三角形的性质；平移的性质． 分析： 先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的； 根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的； 根据①的结论，可判断③正确；
根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE=∠COD=90°，进而判断④正确． 解答： 解：∵△ABC、△DCE是等边三角形， ∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，
∴∠ACD=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AD=AC=BC，故①正确； 由①可得AD=BC， ∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BD、AC互相平分，故②正确； 由①可得AD=AC=CE=DE，
故四边形ACED是菱形，即③正确． ∵四边形ACED是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AC∥DE，
∴∠BDE=∠COD=90°， ∴BD⊥DE，故④正确，
综上可得①②③④正确，共4个． 故选D．
桑水
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点评： 互相垂直．
6．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
此题主要考查了菱形的判定与性质，以及平移的性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线
A． 12cm B．16cm C．20cm D． 22cm
考点： 菱形的判定与性质；平行四边形的性质． 专题： 计算题． 分析： 由角平分线的定义，可得∠EAD=∠DAF=∠ADE，进而可得AE=ED，由平行四边形的性质可得答案． 解答： 解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD， ∵∠EAD=∠FAD， ∴∠EAD=∠EDA， ∴EA=ED，
∴平行四边形AEDF是菱形． ∴四边形AEDF周长为4AE=16． 故选B． 点评： 本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．
7．下列命题中，真命题是（ ）
A． 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B． 有一条对角线平分对角的四边形是菱形 C． 菱形是对角线互相垂直平分的四边形 D． 菱形的对角线相等
考点： 菱形的判定与性质． 分析： 根据菱形的判定与性质进行判断． 解答： 解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误； B、有一条对角线平分对角的四边形不一定是菱形，此选项错误； C、菱形的对角线是互相垂直平分的四边形，此选项正确； D、菱形的对角线不一定相等，此选项错误． 故选C． 点评： 本题考查了菱形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握菱形有关判定与性质．
8．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：
①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
桑水
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A． 5个 C．3个 D． 2个
考点： 菱形的判定与性质． 分析： ①正确，根据三角形的面积公式可得到结论． ②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．
③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．
④不正确，根据已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO． ⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确． 解答： 解：①正确
∵E、F分别是OA、OC的中点． ∴AE=OE．
∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正确 ∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点． ∴EF⊥OD，OE=OF． ∵OD=OD． ∴DE=DF． 同理：BE=BF
∴四边形BFDE是菱形． ③正确
∵菱形ABCD的面积=AC×BD． ∵E、F分别是OA、OC的中点． ∴EF=AC．
∴菱形ABCD的面积=EF×BD． ④不正确
由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO． ⑤正确
∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD． ∴△DEO≌△DFO．
∴△DEF是轴对称图形．
∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选B． 点评： 此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．
二．填空题（共5小题）
9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= 5 ．
B．4个
桑水
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考点： 菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理． 分析： 首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值． 解答： 解：∵AG∥BD，BD=FG， ∴四边形BGFD是平行四边形， ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点， ∴BD=DF=AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x， ∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2， 解得：x=5， 即BG=5． 故答案是：5． 点评： 本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．
10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=4，则四边形CODE的周长为 8 ．
考点： 菱形的判定与性质；矩形的性质． 专题： 几何图形问题． 分析： 首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案． 解答： 解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，
桑水
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∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8． 故答案为：8． 点评： 此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．
11．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是 ①②④ ．（填序号） ①图中共有3个菱形； ②△BEP≌△BGP；
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半； ④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．
考点： 菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 分析： 根据菱形的判定判断①即可；根据菱形性质求出四边形BEPG是平行四边形，推出PE=BG，PG=BE，根据全等三角形的判定推出△BEP≌△PGB，即可判断②；根据三角形面积公式即可判断③；求出四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，推出AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，求出AH=PE=BG=BE=CF=PG， 同理AE=HP=DF=PF=CG，即可判断④． 解答： 解：∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HOFD、菱形BEPG，∴①正确； ∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD=∠CBD， ∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形BEPG是平行四边形， ∴PE=BG，PG=BE， 在△BEP和△PGB中，
∴△BEP≌△PGB（SSS）， ∴②正确；
∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形， ∴AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG， ∵四边形ABCD是菱形，
桑水
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∴∠EBP=∠GBP， ∵PE∥BG，
∴∠EPB=∠GBP， ∴∠EBP=∠EPB， ∴BE=PE，
∴AH=PE=BG=BE=CF=PG， 同理AE=HP=DF=PF=CG，
∴四边形AEPH的周长=四边形GPFC的周长，∴④正确； 故答案为：①②④． 点评： 本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，但是比较容易出错．
12．如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABCD，已知∠BAD=60度，则重叠部分的面积是
cm2．
考点： 菱形的判定与性质． 分析： 首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB=BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案． 解答： 解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F， 根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE=BF=1cm， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠BAD=∠BCD=60°， ∴∠ABE=∠CBF=30°， ∴AB=2AE，BC=2CF， ∵AB2=AE2+BE2， ∴AB=同理：BF=
cm，
cm，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形， ∴AD=
cm，
（cm2）．
∴S菱形ABCD=AD•BE=故答案为：
．
桑水
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点评： 此题考查了菱形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
13．如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，则∠BCF的度数为 105° ．
考点： 菱形的判定与性质；正方形的性质． 分析： 首先过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，易得四边形AOBQ是正方形，四边形ACFE是菱形，Rt△AOE中，AE=2AO，即可求得∠AEO=30°，继而求得答案． 解答： 解：过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BQ⊥AC ∵BF∥AC，
∴AO∥BQ 且∠QAB=∠QBA=45° ∴AO=BQ=AQ=AC， ∵AE=AC， ∴AO=AE，
∴∠AEO=30°， ∵BF∥AC，
∴∠CAE=∠AEO=30°， ∵BF∥AC，CF∥AE， ∴∠CFE=∠CAE=30°， ∵BF∥AC，
∴∠CBF=∠BCA=45°，
∴∠BCF=180°﹣∠CBF﹣∠CFE=180﹣45﹣30=105°． 故答案为：105°．
桑水
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点评： 此题考了正方形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题（共7小题）
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC． （1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．
考点： 菱形的判定与性质；旋转的性质． 专题： 几何综合题． 分析： （1）根据旋转可得AE=CE，DE=EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形；
（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案． 解答： （1）证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE， ∴AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵D、E分别为AB，AC边上的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∵∠ACB=90°， ∴∠AED=90°， ∴DF⊥AC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：在Rt△ABC中，BC=8，AC=6， ∴AB=10，
∵D是AB边上的中点， ∴AD=5，
∵四边形ADCF是菱形， ∴AF=FC=AD=5，
∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28． 点评： 此题主要考查了菱形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
15．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BE⊥CD于E交AD的延长线于F，DC=2AD，AB=BE． （1）求证：AD=DE．
（2）求证：四边形BCFD是菱形．
桑水
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考点： 专题： 分析：
菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 证明题． （1）由
，利用“HL”可证△BDA≌△BDE，得出AD=DE；
（2）由AD=DE，DC=DE+EC=2AD，可得DE=EC，又AD∥BC，可证△DEF≌△CEB，得出四边形BCFD为平行四边形，再由BE⊥CD证明四边形BCFD是菱形． 解答： 证明：（1）∵∠A=∠DEB=90°， 在Rt△BDA与Rt△BDE中，
，
∴△BDA≌△BDE， ∴AD=DE；
（2）∵AD=DE，DC=DE+EC=2AD， ∴DE=EC， 又∵AD∥BC，
∴△DEF≌△CEB， ∴DF=BC，
∴四边形BCFD为平行四边形， 又∵BE⊥CD，
∴四边形BCFD是菱形． 点评： 本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质．关键是明确每个判定定理的条件，逐步推出特殊四边形．
16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
考点： 菱形的判定与性质． 分析： （1）由题意易得，EF与BC平行且相等，故四边形BCFE是平行四边形．又麟边EF=BE，则四边形BCFE是菱形；
桑水
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（2）连结BF，交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO．利用菱形的面积=CE•BF进行解答． 解答： （1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，BC=2DE． ∵CF∥BE，
∴四边形BCFE是平行四边形． ∵BE=2DE，BC=2DE， ∴BE=BC．
∴□BCFE是菱形；
（2）解：连结BF，交CE于点O． ∵四边形BCFE是菱形，∠BCF=120°， ∴∠BCE=∠FCE=60°，BF⊥CE， ∴△BCE是等边三角形． ∴BC=CE=4． ∴∴
． ．
点评： 问题．
17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． （1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE． （2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．
此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关
考点： 菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： （1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE；
桑水
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（2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再有条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形；
（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD． 解答： （1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC， 在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS）， ∴∠AFD=∠AFB， ∵∠AFB=∠CFE， ∴∠AFD=∠CFE；
（2）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD， 又∵∠BAC=∠DAC， ∴∠CAD=∠ACD， ∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD， ∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD， 理由：∵四边形ABCD为菱形， ∴BC=CD，∠BCF=∠DCF， 在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS）， ∴∠CBF=∠CDF， ∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°， ∴∠EFD=∠BCD．
桑水
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点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
18．已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN． （1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形； （2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．
考点： 菱形的判定与性质；矩形的性质． 分析： （1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可． 解答： （1）答：四边形ABCD是菱形． 证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S， 由题意知：AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，
∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN， ∴两个矩形全等， ∴AR=AS，
∵AR•BC=AS•CD， ∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵菱形ABCD的周长为20， ∴AD=AB=BC=CD=5， ∵BE=3， ∴AE=4，
∴DE=5+4=9，
∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．
点评：
此题主要考查了菱形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
桑水
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19．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BD相交于点N，连接MB，ND． （1）求证：四边形BMDN是菱形； （2）若AB=1，AD=2，求MD的长．
考点： 菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质． 分析： （1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣32x+256+64，求出即可． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO， 在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（ASA）， ∴OM=ON， ∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形， ∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形， ∴MB=MD，
在Rt△AMB中，∵BM2=AM2+AB2 ∴MD2=（2﹣MD）2+12， 解得：MD=（舍去负值）， 即：MD长为．
点评： 本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
桑水
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20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．
（1）证明：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=1，BC=3，求菱形AECF的边长．
考点： 菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质． 分析： （1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根据平行线的性质得出∠EAO=∠FCO，根据ASA推出：△AEO≌△CFO；根据全等得出OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形；
（2）根据线段垂直平分线性质得出AF=CF，设AF=x，推出AF=CF=x，BF=3﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程62+（8﹣x）2=x2，求出即可． 解答： （1）证明：∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO， 在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA）； ∴OE=OF
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF⊥AC
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：设AF=x，
∵EF是AC的垂直平分线， ∴AF=CF=x，BF=3﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2， 12+（3﹣x）2=x2， 解得 x=．
即菱形AECF的边长是．
桑水
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点评： 本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想．
初中数学试卷
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