反比例函数的实际应用、 实际问题与反比例函数(教案)

26.2 实际问题与反比例函数

第1课时 反比例函数的实际应用（1）

【知识与技能】

进一步运用反比例函数的知识解决实际问题. 【过程与方法】

经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力. 【情感态度】

运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中，感受数学的应用价值，提高学习兴趣. 【教学重点】

运用反比例函数的意义和性质解决实际问题. 【教学难点】

用反比例函数的思想方法分析、解决实际应用问题.

一、情境导入，初步认识

问题 我们知道，确定一个一次函数y = kx+b的表达式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数表达式，则只需一个独立条件即可，如点A(2，3)是一个反比例函数图象上的点，则此反比例函数的表达式是 ，当x=4

1时，y的值为 ，而当y=时，相应的x的值为 ，用反比例函数

3可以反映很多实际问题中两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？

二、典例精析，掌握新知

例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室. (1)储存室的底面积S(单位：m2 )与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系？ (2 )公司决定把储存室的底面积定为 500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？

(3)当施工队按（2)中的计划掘进到地下15m时，碰到坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(精确到0.01m2)？

V【分析】已知圆柱体体积公式V=S • d,通过变形可得S = ，当V—定时，

d圆柱体的底面积S是圆柱体的高（深）d的反比例函数，而当S= 500m2时，就可

V得到d的值，从而解决问题（2)，同样地，当d= 15m —定时，代入S = 可

d求得S，这样问题（3)获解.

例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间.

(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度V(单位：吨/天）与卸货时间t单位：天）之间有怎样的函数关系？

(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多货 ？

【分析】由装货速度×装货时间=装货总量，可知轮船装载的货物总量为240

240吨；再根据卸货速度=卸货总量÷卸货时间，可得V与t的函数关系式为V=，

t获得问题（1)的解；在(2)中，若把t=5代入关系式，可得V=48，即每天至少要

240240卸载48吨，则可保证在5天内卸货完毕.此处，若由V =得到t=，由ttV240≤5，得≤5，从而V≥48，即每天至少要卸货48吨，才能在不超过5天内

V卸货完毕.

【教学说明】 例2仍可由学生自主探究， 得到结论.鼓励学生多角度出发，对问题（2)发 表自己的见解，在学生交流过程中，教师可参与他们的讨论，帮助学生寻求解决问题的方法，对有困难的学生及时给予点拨，使不同层次的学生在学习中都有所收获.

例3 如图所示是某一蓄水池每1h的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数图象. (1) 请你根据图象提供的信息求出此蓄水的蓄水量. (2) 写出此函数的函数关系式. (3) 若要6h排完水池的水，那么每1h的排水量应该是多少？

(4) 如果每1h排水量是5m3，那么水池中 的水将用多长时间排完？ 【分析】解此题关键是从图象中获取有关信息，会根据图象回答. 解：(1)由图象知：当每1h排水4m3时，需12h排完水池中的水，

3

蓄水量为4×12 = 48（m)

k(2)由图象V与t成反比例，设V=(k≠0).

t48把V=4,t=12代入得k=48， V = (t＞0).

t48(3)当t=6时，V= 8，即每1h排水量是8m3

64848⑷当 V=5时,5 = ,t= 9.6(h)，即水池中的水需要用9.6h排完.

5t【教学说明】例3相比前面两例，难度增加，教师在讲解本题时，要辅导学生从图象中获取信息，会根据图象回答问题. 三、运用新知，深化理解

1.某玻璃器皿公司要挑选一种容积为1升 (1升=1立方分米）的圆锥形漏斗. (1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少？

2.市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务.

(1)运输公司平均每天的工作量V(单位：m3/天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？

(2)这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方104m3.则公司完成全部运输任务需要多长时间？

【教学说明】以上两题让学生相互交流，共同探讨，获得结果，使学生通过对上述问题的思考，巩固所学知识，增强运用反比例函数解决问题的能力.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.

13【答案】1.解：（1)Sd=1，S = (d＞0)

3d3(2)100cm2 = 1dm2，当S = 1dm2时，=1,d=3dm.

d106(t ＞0) . 2.解:(1)Vt10,Vt61061064102 .即完成任务需要100天. (2)t=V10四、师生互动，课堂小结

谈谈这节课的收获和体会，与同伴交流.

1.布置作业：从教材“习题26. 2”中选取. 2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

本节课是用函数的观点处理实际问题，其中蕴含着体积、面积这样的实际问题.而解决这些问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.

学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识作为基础，另外在小学也学过反比例，并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数，学生已经有了一定的知识准备.因此，本节课教师 可从身边事物入手，使学生真正体会到数学知识来源于生活，有一种亲切感.在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来进行交流活动，不断引导学生利用数学知识 来解决实际问题.

26.2 实际问题与反比例函数 第1课时 实际问题与反比例函数（1）

——面积问题与装卸货物问题

一、新课导入 1.课题导入

前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决问题中所起的作用.这节课我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题.

2.学习目标

(1)掌握常见几何图形的面积（体积）公式.

(2)能利用工作总量、工作效率和工作时间的关系列反比例函数解析式. (3)从实际问题中抽象出数学问题，建立函数模型，运用所学的数学知识解决实际问题.

3.学习重、难点

重点：面积问题与装卸货物问题.

难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式. 二、分层学习

1.自学指导

（1）自学内容：教材P12例1. （2）自学时间：8分钟.

（3）自学指导：抓住问题的本质和关键，寻求实际问题中某些变量之间的关系.

（4）自学参考提纲： ①圆柱的体积=底面积×高，

104教材P12例1中，圆柱的高即是d，故底面积S .

d②P12例1的第(2)问实际是已知S=500，求d. ③例1的第(3)问实际是已知d=15，求S.

④如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD，

其中一边AB靠墙，墙长为12 m，设AD的长为x m，DC的长为y m.

60a.求y与x之间的函数关系式；y

xb.若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.(AD=5 m,DC=12 m;AD=6 m,DC=10 m;AD=10 m,DC=6 m.)

2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生：

①明了学情：了解学生是否掌握利用面积（体积）公式列反比例函数关系式. ②差异指导：辅导关注学困生.

（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨. 4.强化

(1)教材例1的解题思路和解答过程. (2)面积公式与体积公式中的反比例关系. (3)练习：已知某矩形的面积为20 cm2. ①写出其长y与宽x之间的函数表达式；

②当矩形的长为12 cm时，宽为多少?当矩形的宽为4 cm，长为多少? ③如果要求矩形的长不小于8 cm，其宽最多是多少？ 答案：①y2055②cm;5 cm③cm x32

1.自学指导

（1）自学内容：教材P13例2. （2）自学时间：5分钟.

（3）自学方法：认真分析例题，积极思考，结合自学参考提纲自学.

（4）自学参考提纲：

①工作总量、工作时间和工作效率（或速度）之间的关系是怎样的？ ②教材例2中这艘船共装载货物240吨，卸货速度v（吨/天）与卸货时间t（天）的关系是v240. t③如果列不等式求“平均每天至少要卸载多少吨”，你会怎样做？写出你的解答过程.

④一司机驾汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.

a.当他按原路匀速返回时，汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）有怎

480样的函数关系？v tb.如果该司机必须在4小时之内返回甲地，则返程时的速度不得低于多少？(120千米/小时)

c.若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时，试问返程所用时间的范围是多少？（4~8小时）

2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生：

①明了学情：了解学生是否会列函数关系式，是否会根据反比例函数关系解决实际问题.

②差异指导：指导学生从形式和自变量的取值范围两个方面对比正比例函数理解反比例函数.

（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨. 4.强化

（1）教材例2的解题思路和解答过程.

（2）练习：某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放

10个窗口时，需1小时才能对全部学生售饭完毕.

①共有多少学生就餐？

②设开放x个窗口时，需要y小时才能让当天就餐的同学全部买上饭，试求出y与x之间的函数关系式；

③已知该学校最多可以同时开放20个窗口，那么最少多长时间可以让当天就餐的学生全部买上饭？

答案：①1800个；②y三、评价 1.学生自我评价.

2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）. 3.教师的自我评价（教学反思）.

函数是初中数学的难点之一，当函数遇到实际应用，可谓是难上加难，但也使解题多了几种途径.对于这些实际问题，要善于运用函数的观点去处理.因此在教学过程要注意培养学生的审题能力，理解文字中隐藏的已知条件，合理地建立函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应.将实际问题置于已有的知识背景中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，逐步培养解决实际问题的能力.

一、基础巩固（70分）

1.(10分)某轮船装载货物300吨，到港后，要求船上货物必须不超过5日卸载完毕，则平均每天至少要卸载（B）

A.50吨 B.60吨 C.70吨 D.80吨

2.(10分) 用规格为50 cm×50 cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为a cm×a cm的地板砖y块也恰好能密铺该客厅，那么y与a之间的关系为（A）

A.y1500001500002

y B. C.y=150000a D.y=150000a 2aa10;③30分钟. x3.(10分) 如果以12 m3/h的速度向水箱注水，5 h可以注满.为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q （m3/h），那么此时注满水箱所需要的时间t （h）

与Q （m3/h）之间的函数关系为（A）

A.t

606060 B.t=60QC. t12 D.t12 QQQ4.(10分) 如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，当它的面积为10时，x与y 的函数关系式为（D）

A.y105x20 B.y C.y D.y xx20x1Sh（其中S表示圆锥的底面积，h表示圆锥35.(10分) 已知圆锥的体积V＝

的高）．若圆锥的体积不变，当h为10 cm时，底面积为30 cm2，则h关于S的函数解析式为h300. S6.(10分)小艳家用购电卡购买了1000度电，那么这些电能够使用的天数m与小艳家平均每天的用电度数n有怎样的函数关系？如果平均每天用电4度，这些电可以用多长时间？

解：m1000;250天. n7.(10分)某农业大学计划修建一块面积为2×106 m2的长方形试验田. （1）试验田的长y（单位：m）关于宽x（单位：m）的函数关系式是什么？ （2）如果试验田的长与宽的比为2∶1，则试验田的长与宽分别是多少？

2106解：（1）y ;(2)长：2×103 m，宽：103 m.

x二、综合应用（20分）

8. (10分)某地计划用120~180天（含120天与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米.

（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；

（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万

立方米？

解：（1）y360(2≤x≤3); x（2）设原计划每天运送土石方x万立方米，实际每天运送土石方（x+0.5）万立方米.

360360则.解得 x=2.5. 24（x0.5）x因此，原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米.

9.(10分)正在新建中的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5×103 m2.

(1)所需瓷砖的块数n与每块瓷砖的面积S有怎样的函数关系？

(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块砖的面积都是80 cm2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2∶2∶1，则需三种瓷砖各多少块？

解：（1）n=5×103S；

（2）设需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2x、2x、x块. （2x+2x+x）·80=5×103×104

x=1.25×105

因此，需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2.5×105块、2.5×105块、1.25×105块. 三、拓展延伸（10分）

10.(10分) 水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：

观察表中数据，发现这种海产品每天的销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数中的一种.

（1）请你选择一种合适的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；

（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且以后每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？

（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？

解：（1）y12000；不选一次函数是因为y与x之间不成正比例关系. x12000+60+80+96+100=504(千克)， 240（2）30+40+48+

12000（2104-504）÷=20（天）.

15012000（3）（20-15）×÷2=200（千克），12000÷200=60（元/千克）.

150