万有引力与航天
一、选择题(1～7题为单项选择题，8～14题为多项选择题)
1．(2017·湖南衡阳五校联考)在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献。关于科学家和他们的贡献，下列说法中不正确的是( )
A．伽利略首先将实验事实和逻辑推理(包括数学推演)和谐地结合起来 B．笛卡儿对牛顿第一定律的建立做出了贡献
C．开普勒通过研究行星观测记录，发现了行星运动三大定律 D．牛顿总结出了万有引力定律并用实验测出了引力常量
2．假设有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的( )
1A. 4
B．4倍
C．16倍
D．64倍
2．火星成为我国深空探测的第二颗星球，假设火星探测器在着陆前，绕火星表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，宇航员测出飞行N圈用时t，已知地球质量为M，地球半径为R，火星半径为r，地球表面重力加速度为g。则( )
2πNRA．火星探测器匀速飞行的速度约为
t4πNrB．火星探测器匀速飞行的向心加速度约为 2
22
t4πNrC．火星探测器的质量为22 23
gRt2
3πMND．火星的平均密度为2 gRt4．登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比( )
行星 地球 火星 半径/m 6.4×10 3.4×10 66质量/kg 6.0×10 6.4×10 2324轨道半径/m 1.5×10 2.3×10 1111A.火星的公转周期较小
B．火星做圆周运动的加速度较小 C．火星表面的重力加速度较大
D．火星的第一宇宙速度较大
5．中国北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统。预计2020年左右，北斗卫星导航系统将形成全球覆盖能力。如图1所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，则( )
图1
A．卫星a的角速度小于c的角速度 B．卫星a的加速度大于b的加速度 C．卫星a的运行速度大于第一宇宙速度 D．卫星b的周期大于24 h
6．(2015·海南单科，6)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7，已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为( )
1A.R 2
7B.R 2
C．2R D.
7R 2
7．(2016·辽宁大连重点中学联考)如图2所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬60°的正上方按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1 h，则下列说法正确的是( )
图2
A．该卫星的运行速度一定大于7.9 km/s
B．该卫星与同步卫星的运行速度之比为1∶2 C．该卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4 D．该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能 8．下列关于三种宇宙速度的说法正确的是( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．美国发射的“凤凰”号火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的小行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 9．据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器。探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行。若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是( )
A．g′∶g＝4∶1 C．v′∶v＝
5
28
B．g′∶g＝5∶14 D．v′∶v＝
5 14
10．(2016·山西四校联考)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m的小星体和一个质量为M的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r。关于该三星系统的说法正确的是( )
A．在稳定运行的情况下，大星体提供两小星体做圆周运动的向心力
B．在稳定运行的情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧
34πr234πr2
C．小星体运行的周期为T＝
G（4M＋m）
D．大星体运行的周期为T＝
G（4M＋m）
11．北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。关于这些卫星，下列说法正确的是( )
A．5颗同步卫星的轨道半径都相同
B．5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内
C．导航系统所有卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度 D．导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的卫星，周期越小
12．某物理兴趣小组通过查资料得到以下量的具体数据(用字母表示)：地球半径R，地球质量m，日地中心距离r，地球的近地卫星绕地球运行的周期T1，地球的同步卫星绕地球运行的周期T0，地球绕太阳运行的周期T。由此可知( )
r3T21mA．太阳质量为32
RTR3T2mB．太阳质量为32
rT0
C．地球同步卫星离地面的高度为(
3T2
0
－1)R
T21
3T21
D．地球同步卫星离地面的高度为(
T20
－1)R
13．海南文昌卫星发射场靠近赤道，主要用于发射中国新一代无毒、无污染运载火箭和新型航天器，承担地球同步轨道卫星、大质量极轨卫星、大吨位空间站和深空探测航天器等航天发射任务。假设海南文昌卫星发射场的地理纬度是θ，地球半径为R，地球自转周期为T，该地的重力加速度为g，则( )
2πRA．卫星静止在发射塔时的线速度为
TB．质量为m的卫星所受地球的引力可能小于mg
2π2
C．质量为m的卫星静止在发射塔时的向心加速度a＝()Rcos θ
TD．质量为m的卫星静止在发射塔时对发射塔的压力大小等于mg
14．2016年6月25日20时00分，长征七号运载火箭成功发射，6月26日15时04分许，围绕地球飞行了13圈的多用途飞船缩比返回舱开始返回。假设多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动，若已知地面的重力加速度和地球半径，根据以上信息，可以求出的物理量为( )
A．多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的向心力 B．多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的轨道半径 C．地球质量
D．多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的线速度 二、非选择题
15．中国计划在2017年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员在月球上着陆后，自高h处以初速度v0水平抛出一小球，测出水平射程为L(这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R，万有引力常量为G，求：
(1)月球表面处的重力加速度及月球的质量M月；
(2)如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为多大？ (3)当着陆器绕距月球表面高H的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期是多少？
参考答案
1.答案 D
GMmgR2M2.解析 由2＝mg得M＝，所以ρ＝＝
RGV4
2
gR2
G3
＝
πR3
3g，ρ＝ρ4πGR地
，即
3g＝4πGR3g地MgRG，得R＝4R地，故＝·2＝64。选项D正确。
4πGR地M地Gg地R地
答案 D
2πNr3.解析 火星探测器匀速飞行的速度约为v＝，A错误；火星探测器匀速飞行，
t223M火m探m探v2GM4πNrMG2＝，对于地球，g＝2，两式结合，得到M火＝22，火星的平均密度为ρ＝rrRtgRM火3πMN2
＝22，故D错误；火星探测器的质量不可能计算出来，故C错误。 VgRt答案 B
r3GM，a＝2，轨道半径越大，公转周期越GMrMmMg地
大，加速度越小，由于r火＞r地，故选项A错误，B正确；由G2＝mg得g＝G2，＝
RRg火M地R火2Mmv2
·＝2.6，火星表面的重力加速度较小，C错误；由G2＝m得v＝M火R地RRM地R火
·＝5，火星的第一宇宙速度较小，D错误。 M火R地
答案 B
5.解析 a的轨道半径大于c的轨道半径，因此卫星a的角速度小于c的角速度，选项A正确；a的轨道半径与b的轨道半径相等，因此卫星a的加速度等于b的加速度，选项B错误；a的轨道半径大于地球半径，因此卫星a的运行速度小于第一宇宙速度，选项C错误；a的轨道半径与b的轨道半径相等，卫星b的周期等于a的周期，为24 h，选项D错误。
答案 A
6.解析 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即x＝v0t，在竖直方向上做自由落12
体运动，即h＝gt，所以x＝v02
2hMm4π2
4.解析 由G2＝m2r＝ma知，T＝2π
rTGMv地
，＝Rv火
g，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，所以g行g地
x27MmGMR行地2
＝2＝，根据公式G2＝mg可得R＝，故＝x行4RgR地
答案 C
M行g地
·＝2，解得R行＝2R，故C正确。 M地g行
Mmv2
7.解析 近地卫星的环绕速度等于第一宇宙速度7.9 km/s。根据G2＝m，得v＝
rrGM，半径越大线速度越小，该卫星的半径大于地球半径，则其运行速度一定小于7.9 rkm/s，选项A错误；该卫星从北纬60°到南纬60°，转过120°用时1 h，则其转过360°用时3 h，即周期为3 h，而同步卫星的周期为24 h，即该卫星与同步卫星的周期之比为
Mm4π2r3GM1∶8。根据G2＝m2r，得2＝，则可得半径之比为1∶4，选项C正确；再由v＝
rTT4π2
GM可得该卫星与同步卫星的运行速度之比为2∶1，选项B错误；该卫星与同步卫星的r质量关系未知，无法判断两者机械能的大小关系，选项D错误。
答案 C 8.解析 根据v＝
GM可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕r速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；其余绕地球在圆轨道上运行时的卫星的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；美国发射的“凤凰”号火星探测卫星，仍在太阳的引力范围内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是物体挣脱地球束缚而成为一颗绕太阳运行的小行星的最小发射速度(在地面上发射)，选项C正确。
答案 CD
9.解析 在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，GMm43
2＝mg，M＝ρπR，解两式R3
4
得：g＝GπρR，所以g′∶g＝5∶14，A项错，B项正确；探测器在天体表面飞行时，万
3
Mmv243
有引力充当向心力，即：G2＝m，M＝ρπR，解两式得：v＝2RRR3
＝
5
，C项正确，D项错。 28答案 BC
Gπρ3
，所以v′∶v10.解析 在稳定运行的情况下，对某一个环绕星体而言，受到其他两个星体的万有引力，两个万有引力的合力提供环绕星体做圆周运动的向心力，选项A错误；在稳定运行的情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧，选项B正确；对某
一个小星体有
GMmGmm4πrm，解得小星体运行的周期为T＝，选项C2＋2＝
r（2r）T2G（4M＋m）
2
3
4πr2
正确；大星体相对静止，选项D错误。
答案 BC
11.解析 所有同步卫星的轨道都位于赤道平面内，轨道半径和运行周期都相同，选
Mmv2
项A、B正确；卫星绕地球做匀速圆周运动，有G2＝m，v＝
rrGM，故随着卫星运行轨道r半径的增大，运行速度减小，在地球表面附近运行的卫星的速度最大，等于第一宇宙速
Mm4π22
度，导航系统所有卫星运行的速度都小于第一宇宙速度，选项C错误；由G2＝m2r得TrT4πr＝，则轨道半径越大，周期越大，选项D错误。
23
GM答案 AB
2
Mm4π
12.解析 设太阳质量为M，由万有引力提供向心力有G2＝m2r，在地球表面有
rT2
mm′4πr3T2R3（R＋h）31mG2＝m′2R，得M＝32，A正确，B错误；由开普勒第三定律有2＝，可得RT1RTT1T20
地球同步卫星离地面的高度为h＝(
答案 AC
3T2
0
T21
－1)R，C正确，D错误。
2πRcos θ13.解析 卫星静止在发射塔时的线速度为v＝ωRcos θ＝，选项A错误；
T由于地球自转，质量为m的卫星所受地球的引力一定大于mg，选项B错误；质量为m的卫2π22
星随地球自转，轨迹圆半径为r＝Rcos θ，向心加速度a＝ωRcos θ＝()Rcos θ，选
T项C正确；质量为m的卫星静止在发射塔时对发射塔的压力大小等于其重力mg，选项D正确。
答案 CD
14.解析 根据题述信息，可求出多用途飞船围绕地球飞行13圈的时间，进而求出多
MmgR2
用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的周期T。由G2＝mg，解得地球质量M＝，由于引力
RGMmMm2π2
常量G未知，所以不能得出地球质量，选项C错误；由G2＝mg，G2＝mr()，解得r＝
RrT3gR2T2
2π2
，选项B正确；多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的向心力F＝m()r，由于24πT不知飞船的质量m，不能求出多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的向心力，选项A错误；已知轨道半径r和运动周期T，可以求出多用途飞船围绕地球做匀速圆周运动的线速度v＝2πr，选项D正确。
T答案 BD
15.解析 (1)设月球表面的重力加速度为g，由平抛运动规律有
h＝gt2① L＝v0·t②
2hv0
得g＝2③
2
12
L着陆器在月球表面所受的万有引力等于重力，
GM月m＝mg④ R2
22
2hv0R得M月＝2⑤
GL(2)卫星绕月球表面运行，有
M月m′m′v2G2＝⑥ RR联立⑤⑥得v＝
v0
2hR⑦ L2
M月m4π
(3)由牛顿第二定律有G⑧ 2＝m(R＋H)
（R＋H）T2
联立⑤⑧得T＝2πL（R＋H）
223
hR2v20
2222hv02hv0Rv0
答案 (1)2 2hR 2 (2)LGLL(3)2πL（R＋H）
223 hR2v20
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