高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程
【本讲主要内容】
抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 抛物线定义： 平面内与一个定点
和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点
叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点
不
在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当0 2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数 的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）： 其中 为抛物线上任一点。 3. 对于抛物线 4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线 上的点的坐标可设为 的焦点 ，以简化运算。 的直线与抛物线交于 ，直线 与 的 斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，， ， 说明： 。 1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。 3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。 【解题方法指导】 例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为解析：设所求抛物线的方程为 或 （y1>0） ，∴ ，代入 得 轴，且与圆 相交的公共弦长等于 ，求此抛物线的方程。 设交点 则 ∴点在上，在上 ∴或，∴ 故所求抛物线方程为 例2. 设抛物线 或。 的焦点为 ，经过 的直线交抛物线于 两点，点 在抛物线的准线上，且 ∥ 轴，证明 直线 经过原点。 解析：证法一：由题意知抛物线的焦点 故可设过焦点的直线的方程为 由，消去得 设 ，则 ∵∥轴，且在准线上 ∴点坐标为 于是直线的方程为 要证明经过原点，只需证明，即证 注意到 知上式成立，故直线 经过原点。 证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，点坐标为。于是 ∴ ，知 证法三：如图， 三点共线，从而直线经过原点。 设 则 轴与抛物线准线交于点∥ ∥ ，连结 ，过交 作于点 ，，则 是垂足 又根据抛物线的几何性质， ∴ 因此点 是 的中点，即 与原点 重合，∴直线 经过原点 。 评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。 【考点突破】 【考点指要】 抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。 考查通常分为四个层次： 层次一：考查抛物线定义的应用； 层次二：考查抛物线标准方程的求法； 层次三：考查抛物线的几何性质的应用； 层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。 解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。 【典型例题分析】 例3. （2006江西）设 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为抛物线上一点，若 ，则点 的坐标为（ ） A. C. 答案：Ｂ B. D. 解析：解法一：设点 坐标为，则 ， 解得或（舍），代入抛物线可得点的坐标为。 解法二：由题意设，则， 即，，求得，∴点的坐标为。 评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。 例4. （2006安徽）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ） A. －2 B. 2 C. －4 Ｄ. 4 答案：D 解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。 评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。 【达标测试】 一. 选择题： 1. 抛物线 的准线方程为 ，则实数 的值是（ ） A. B. C. 轴上，又抛物线上的点 D. ，与焦点 等于（ ） 2. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在的距离为4，则 A. 4 B. 4或－4 C. －2 D. －2或2 3. 焦点在直线 A. C. 上的抛物线的标准方程为（ ） B. D. 或 或 4. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 正方体距离与点 到点 的棱长为１，点 的距离的平方差为１，则点 在棱上，且，点是平面上的动点，且点到直线的 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 以上都不对 6. 已知点 是抛物线 上一点，设点 到此抛物线准线的距离为 ，到直线 的距离为 ，则 的最小 值是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 7. 已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 的焦点的直线交抛物线于 D. 5 两点， 为坐标原点，则 的值是（ ） 8. 过抛物线 A. 12 B. －12 C. 3 D. －3 二. 填空题： 9. 已知圆10. 已知＿＿＿。 分别是抛物线 和抛物线 上两点， 的准线相切，则为坐标原点，若 的值是＿＿＿＿＿。 的垂心恰好是此抛物线的焦点 ，则直线 的方程为＿＿ 11. 过点（0，1）的直线与12. 已知直线 与抛物线 交于两点，若交于 的中点的横坐标为，则＿＿＿。 两点，那么线段的中点坐标是＿＿＿＿＿。 三. 解答题： 13. 已知抛物线顶点在原点，对称轴为14. 过点 （4，1）作抛物线 轴上， 轴，抛物线上一点的弦点在点的轨迹 ，恰被轴上，且的方程； 到焦点的距离是5，求抛物线的方程。 所平分，求 所在直线方程。 。 15. 设点F（1，0），M点在 ⑴当点 在 轴上运动时，求 ⑵设0）时，求点【综合测试】 一. 选择题： 1. （2005上海）过抛物线 的坐标。 是曲线上的三点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于E（3， 的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ） A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在 2. （2005江苏）抛物线 上的一点 到焦点的距离为1，则点 的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 0 ，若它的一条准线与抛物线 的准线重合，则该双曲线与抛物线 3. （2005辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为的交点与原点的距离是（ ） A. B. C. D. 21 4. （2005全国Ⅰ）已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. （2004全国）设抛物线 的准线与 轴交于点 ，若过点 的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. 是抛物线 C. 上的点， D. 为原点，当 时 取得最小值，则 的最小值为（ 6. （2006山东）动点 ） A. B. C. D. 7. （2004北京）在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程的底部，则该球的表面积 A. 的取值范围是（ ） C. 的准线为，直线 ，在杯内放一个小球，要使球触及杯子 B. D. 两点，则点 及点 到准线的距离之和为 8. （2005北京）设抛物线（ ） 与该抛物线相交于 A. 8 B. 7 C. 10 D. 12 二. 填空题： 9. （2004全国Ⅳ）设＿。 是曲线 上的一个动点，则点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和的最小值是＿＿＿＿ 10. （2005北京）过抛物线 的焦点 且垂直于 轴的弦为 ，以 为直径的圆为 ，则圆 与抛物线准线的位置关系是 ＿＿＿＿＿，圆的面积是＿＿＿＿＿。 11. （2005辽宁）已知抛物线 的一条弦 ， ， 所在直线与 轴交点坐标为（0，2），则 ＿＿＿＿＿。 12. （2004黄冈）已知抛物线 的焦点在直线 上，现将抛物线沿向量 进行平移，且使得抛物线的焦点沿直 线移到点处，则平移后所得抛物线被轴截得的弦长＿＿＿＿＿。 三. 解答题： 13. （2004山东）已知抛物线C：的焦点为 ，直线过定点 且与抛物线交于 两点。 ⑴若以弦 为直径的圆恒过原点 ，求 的值； ⑵在⑴的条件下，若，求动点 的轨迹方程。 14. （2005四川） 如图， 是抛物线 的焦点，点 为抛物线内一定点，点 为抛物线上一动点， 的最小值为8。 ⑴求抛物线方程； ⑵若 为坐标原点，问是否存在点 ，使过点 的动直线与抛物线交于 两点，且 ，若存在，求动点 标；若不存在，请说明理由。 的坐 15. （2005河南）已知抛物线 ， 为顶点， 为焦点，动直线 与抛物线交于 实数，使得 。 ⑴求； ⑵求满足 的点 的轨迹方程。 两点。若总存在一个 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容