函数单调性和奇偶性练习题

一、选择题(每小题5分，一共12道小题，总分60分)

1．命题“若x,y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是（ ） A．若xy不是偶数，则x与y都不是偶数 B．若xy是偶数，则x与y不都是偶数 C．若xy是偶数，则x与y都不是偶数 D．若xy不是偶数，则x与y不都是偶数 2．下列函数是偶函数的是（ ）

12A．ysinx B．yxsinx C．yx D．y2x1 x2&

3．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ） A．y2 B．y2

xxC．y22 D．y22 4．下列函数中，不是偶函数的是（ ） A．yx4 B．ytanx

2xxxxC．ycos2x D．y33

5．（2015秋•石嘴山校级月考）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞+∞）上单调递增的是（ ）

A．y=﹣ B．y=sinx

xxC．y=x D．y=ln|x|

6．如图，给出了偶函数yfx的局部图象，那么f1与f3 的大小关系正确的是 ( )

!

A.f1f3 B.f1f3 C.f1f3 D.f1f3 7．设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）

A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x) 是奇函数

C．|f(x)g(x)|是奇函数 D．f(|x|)是偶函数

8．定义在R上的函数yf(x)具有下列性质:①f(x)f(x)0;②

f(x1)f(x)1;③yf(x)在[0,1]上为增函数,则对于下述命题：

①yf(x)为周期函数且最小正周期为4;

②yf(x)的图像关于y轴对称且对称轴只有1条;

③yf(x)在[3,4]上为减函数. 正确命题的个数为( )

、

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

9．设f(x)是奇函数，且在(0,)内是增函数，又f(3)0，则xf(x)0的解集是

A．

x|3x0或x3 B．x|x3或0x3

x|x3或x3

C．x|3x0或0x3 D．

10．函数fx的定义域为R,若函数fx的周期6．当3x1时,fxx2

，当1x3时，fxx．则f1f2f2013+f2014（ ） A．337 B．338 C．1678 D．2012

二、填空题(每小题5分，一共6道小题，总分30分)

（

2

11．若函数f(x)x(2a1)x11为奇函数，则a________．

x，则f（﹣1）= ．

12．已知奇函数f（x）当x＞0时的解析式为f（x）=

13．已知f(x)axbx4其中a,b为常数，若f(2)2，则f(2)的值等于 ．

2f(x)kx(k1)x2是偶函数，则f(x)的递减区间是 ． 14．若函数

315．设定义在R上的函数（fx）满足f(x2)f(x)7，若（f1）=2，则（f107）=__________. 16．设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2015)＝________．

三、解答题(每小题5分，一共4道小题，总分20分)

}

17．已知函数f(x)abx (其中a，b为常数)的图象经过(1,3)、(2,3)两点． x（1）求a，b的值，判断并证明函数f(x)的奇偶性；

（2）证明：函数f(x)在区间[2,)上单调递增．

18．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)的值．

参考答案

1．D 【解析】

试题分析：依据逆否命题的概念把原命题中的条件和结论同时“换位”且“换否”，注意“都是”的否定为“不都是”，所以原命题的逆否命题应为“若xy不是偶数，则x与y不都是偶数”，故选D. 考点：四种命题的概念. 2．B 【解析】

试题分析：偶函数的定义域要关于原点对称，且满足f(x)f(x)，选项A中

f(x)sin(x)sinx

f(x)，奇函数不符合；选项B中f(x)(x)sin(x)xsinxf(x)，偶函数符合；

选项C中定义域为0,，不关于原点对称，非奇非偶函数不符合；选项D中

f(x)2x1xx22f(x)，奇函数不符合．故选B． x2考点：利用定义判断一个函数是否为偶函数． 3．C 【解析】

试题解析：A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或y'2ln22考点：函数的单调性、奇偶性 4．D 【解析】

试题分析：A选项，f-x=-x4=x24fx，所以fx为偶函数；B选项，

2xxln20），故选C．

f-xtan-x

=tanxfx，所以fx为偶函数；C选项，f-xcos2-x=cos2xfx，所

以fx是偶函数；D选项，fx3x3x3x3xfx，所以fx为奇函数.故选D.

考点：函数奇偶性的定义. 5．C 【解析】

试题分析：根据函数的奇偶性、单调性的定义逐项判断即可．

解：y=﹣在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除A；

y=sinx在每个区间（2kπ﹣除B；

，2kπ+）（k∈Z）上单调递增，但在定义域内不单调，故排

令f（x）=数，

，其定义域为R，且f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以f（x）为奇函

又f′（x）=3x2≥0，所以f（x）在R上单调递增， 故选：C．

考点：函数奇偶性的判断． 6．D

【解析】根据图像可知，函数是偶函数，利用对称性作出函数图像可孩子f(-3)=f(3),结合图像可知f(1)试题分析：对于选项A，因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且

f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，所以选项A不正确；对于选项B，

因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，所以选项B不正确；对于选项C，因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且

f(x)g(x)f(x)g(x)，所以|f(x)g(x)|是偶函数，所以选项C不正确；

对于选项D，因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)f(x)，所以f(|x|)是偶函数，所以选项D正确；故应选D． 考点：1、函数的奇偶性． 8．B 【解析】

试题分析：（1）由f(x1)f(x)1得f(x2)f(x1)1，所以得f(x)f(x2)，得最小正周期是2. 该命题错误. (2)由f(x)f(x)0得f(x)f(x)，知其是偶函数，图像关于y轴对称，但该函数是周期函数，所以对称轴有无数条.该命题错误. (3) 由

yf(x)在[0,1]上为增函数，因为是偶函数，所以在[1,0]上为减函数，周期为2，所以yf(x)在[3,4]上为减函数. 该命题正确.

考点：函数性质的综合考察. 9．C 【解析】

试题分析：因为函数为奇函数，且f30，在0,内是增函数，所以f30，在

,0内是减函数，从而可得x3fx0，3x00x3x3，，，由此

fx0fx0fx0可得满足xfx0的x的取值集合为x|3x0或0x3． 考点：函数单调性与奇偶性的综合应用． 10．A 【解析】

试题分析：由已知得f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，

f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，故

f1f2f61，

f1f2f2013+f2014

335+f1f2f3f4=337． 考点：函数周期性． 11．1 【解析】

试题分析：因为函数f(x)x(2a1)x111x2a2为奇函数，所以对

xx112a2x2a2，所以xxx(,0)(0,)均有f(x)f(x)，即x4a40,a1.

考点：函数的奇偶性. 12．﹣． 【解析】

试题分析：利用函数的奇偶性，直接求解函数值即可． 解：奇函数f（x）当x＞0时的解析式为f（x）=

，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣．

故答案为：﹣．

考点：函数奇偶性的性质；函数的值． 13．-10 【解析】

试题分析：fx4axbx，所以判断fx4是奇函数，f246，所以

3f246，即f26410

考点：奇函数

【方法点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题型，谨记一些法则，比如，奇函数+奇函数=奇函数，奇函数奇函数=偶函数，奇函数+偶函数=非奇非偶函数，所以本

题fx并不是奇函数，但fx4是奇函数，所以间接利用f24，求f24，最后求f2

14．,0（,0也对） 【解析】

2试题分析：若函数fxkxk1x2是偶函数，所以k1，则fxx2，所以

2函数fx的递减区间是,0． 考点：1．偶函数；2．二次函数的单调性．

【思路点晴】本题主要考查的是二次函数单调性和偶函数，属于容易题．解题时首先要根据函数是偶函数得到k1，从而函数转化为二次函数，找到对称轴即可解决问题．另外本题答案也可是,0．

15．

7. 2【解析】

试题分析：函数f（x）满足f(x2)f(x)7，则f(x)77，f(x2)，

f(x4)f(x2)所以f(x)f(x4)，f(107)f(2643)f(3)77. f(1)2考点：函数的周期性. 16．1

【解析】由条件，f(2015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1. 17．（1）a2,b1 奇函数（2）详见解析 【解析】

试题分析：将函数过的点代入函数式可得到a,b的值，判断奇偶性可判断fxfx，

（2）证明函数单调性一般采用定义法，在x1x2的前提下证明fxfx是否成立；

fx1fx2成立

试题解析：（1）∵ 函数f(x)的图像经过(1,3)、(2,3)两点

ab3∴ a ，得a2,b1

2b32∴ 函数解析式f(x)2 0）（0，+）x ，定义域(，x∵f(x)22(x)(x)f(x) xx2x是奇函数 x∴ 函数解析式f(x)（2）设任意的x1、x2[2,)，且x1x2

f(x1)f(x2)22x1x2 x1x22(x2x1)2(x2x1)(x2x1)(1)

x1x2x1x22x1x2 x1x2(x2x1)∵x12,x22，且 x1x2

∴ x1x22，则2x1x20，且x2x10

得f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)

∴ 函数f(x)在区间[2,)上单调递增．

考点：函数奇偶性单调性

18．（1）见解析（2）f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．（3）1 【解析】(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数． (2)解：因为x∈[2，4]，

所以－x∈[－4，－2]，4－x∈[0，2]， 所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.

又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]． (3)解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1， 又f(x)是周期为4的周期函数，

所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝0， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.，