解一元二次方程 教学设计

教学设计思想

解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。

教学目标 知识与技能：

1．会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。

2．能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。

过程与方法：

1．参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。

2．在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。 情感态度价值观：

在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。 教学重难点

重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。

难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。 教学方法

探索发现，讲练结合 教学媒体 多媒体 课时安排 4课时 教学过程设计 第一课时

一、复习引入：

1．一元二次方程的一般形式是什么？其中a应具备什么条件？

2．x40是一元二次方程吗？其中二次项的系数，一次项的系数，常数项各是什么？

（是。二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－4） 3．解下列方程： （1）x=4

2

2 （2）(x+3)=9

2

学生依次回答上述问题。

师总结强调：（1）象这种通过直接开平方求得x的值的方法，实际上就是求x=a（a≥0）这种特殊形式的一元二次方程的解方法。

（2）对于形如“(x+a)=b (b≥0)”型的方程，只要把x+a看作一个整体，就可以转化为x=b (b≥0)型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。

2

2

2

2

（3）在对方程(x+3)=9两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。“降次”也是一种数学方法

二、试着做做

1．如果（x+2）=9，那么x=_______________。 2．如果（x-3）=7，那么x=_______________。 3．完全平方公式是什么？

4．如果x+2x+1=4，那么x=_______________。 学生独立求解

5．对于x+2x-3=0这样的方程，该怎样求解呢？能否经过适当变形，将方程转化为（x+m）2

=n（m，n是常数，n≥0）的形式，然后应用直接开平法求解呢？你能总结出你解这个方程的步骤吗？

学生活动：小组讨论，利用完全平方公式及上述提示寻求解法，将x+2x-3=0变形为222

x+2x+1=4，即（x+1）=4 。并总结出解方程x+2x-3=0的一种方法：

2

22

22

三、做一做

把下列方程化为（x+ m）=n（m，n是常数，n≥0）的形式，并求出它们的解。 （1）x+2x=48；（2）x-4x=12；

2

2

2

（3）x-6x+6=0；（4）xx2250。 4学生活动：初步体验用配方法解一元二次方程 的步骤。 例1 解方程 x-10x-11=0

该例题师生共同完成，学生通过此题明白每步变形的依据和目的。 然后师生一起总结：

通过配方，把方程的一边化为完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根，这种方法叫做解一元二次方程的配方法。

四、练习：

1．配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x+12x+ （2）x―12x+ （3）x+8x+

222

2

=(x+6)

=(x― )

2

2

2

=(x+ )

2．解方程：课本P34 练习 五、小结

这节课你的收获是什么？ 六、作业

课本P34 1，2，3 七、板书设计

解一元二次方程——配方法 x=a（a≥0） 试着做做 做一做 例1 练习 直接开平方法 x+bx+c=0 配方法 第二课时 一、复习引入

上节课我们学习了解一元二次方程的什么方法？ 解下列方程：

（1）x-6x+4= 0 （2）x+4x-16= 0

2

2

22今天我们一起来学习方程的二次项系数不是1的一元二次方程。 二、做一做

解方程3x-32x-48= 0

师：引导学生观察，此方程和上节课方程进行比较有什么不同，能否转化成二次项系数为1的形式。

学生独立思考，积极探究，解答题目。 解：略。见课本P35

师：请同学们总结用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 学生小组讨论，相互交流自己的想法。 利用配方法解一元二次方程，其一般步骤为： A．先把方程整理为一般形式

B．用二次项系数去除方程两边，把二次项系数化为1 C．把常数项移到方程的右边（移项）

D．方程两边各加上一次项系数一半的平方，把方程化为（xm)n的形式（配方） E．利用直接开方法求得方程的解（当右边是负数时，方程无解） 三、练一练 解下列方程

（1）x-4x=12； （2）3x+2x-5=0； （3）2y+y-6=0； （4）2x+5x+1=0 四、实际应用

例3 有一张长方形桌子，它的长为2m，宽为1m。有一块长方形台布，它的面积是桌面面积的2倍，将台布铺在桌面上时，各边垂下的长相等。求这块台布的长和宽（均精确到0.01m）。 小组讨论：（1）题目中有哪些等量关系？（2）如何设未知数？根据你所设的未知数列出一元二次方程，并解答。（3）算出的x值都可取么？为什么 老师引导学生注意验证方程的解的合理性，并对学习困难的学生给予及时的点拨和引导。

通过此题我们发现在解决实际问题时，设未知数要灵活选择，同时注意检验方程的解是否符合题意，从而确定实际问题的答案。

五、小结

1．配方法的基本步骤。

2

2

2

2

2

22．配方法是一种重要的数学方法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。

3．在解决实际问题时，要注意检验方程的解是否符合题意。 六、作业 课本P37 1，2 五、板书设计

配方法（2） 配方法的一般步骤 例2 例3 练习 第三课时 一、导入新课：

1．配方法的步骤是什么？

学生回答：（1）将方程二次项系数化成1；（2）移项；（3）配方；（4）化为（x+m）=n（m，n是常数，n≥0）的形式；（5）用直接开平方法求得方程的解。

2．用配方法解方程： 2x+7x=4

解：系数化成1，得：x+

22

2

2

7x2 2配方，得：x74949 x221616742 （x+)开平方，得：x81 1679 44x11 x24 2学生活动：用配方法解一元二次方程。

师：直接开平方法解一元二次方程有一定的局限性，必须符合直接开平方的条件才能利用直接开平方法；配方法虽然对任意一个一元一次方程都适用，但每做一题都要配方一次，显得比较麻烦，所以我们就产生了推导一个公式来求一元二次方程的解的想法。

二、一起探究

用配方法解方程：ax+bx+c=0(a0)

2

学生活动：自主探究，按照配方法的步骤逐步求解。 解：系数化成1，（两边同除以a）得：x2bcx0 aa2 移项（把常数项移到方程右边），得：xbcx aabb2cb2b222 配方（两边同时加上()），得：xx2aa4a4a2a 化为（x+m）=n（m，n是常数，n≥0）的形式，得：

2

b2b24ac) (x 22a4a师：接着让学生讨论：此时可以用开平方法求解吗？

让学生充分发表意见后，教师指出：因为a0，所以4a20，当b24ac0时，

bb24ac可以用开平方法得x 22a4ab24acb24ac再让学生讨论吗？ 22a4ab24acb24ac(学生讨论，教师讲解：,但因为式子前面已有符号

2a4a2b24ac“±”，所以无论a0还是a0，最终结果总是)

2abb24acbb24acbb24ac所以 x，x 2a2a2a2a2a2这样我们就得到了一元二次方程 axbxc0(a0)的求根公式：

bb24ac2x(b4ac0)

2a用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

说明：(1)用公式法解一元二次方程，实际上就是给出a、b、c的数值，然后求代数

bb24ac式： 进行求值的运算。由于这样的计算较复杂，所以要提醒学生计算时

2a注意a、b、c的符号，讲究计算的正确性。

(2)在运用求根公式求解时，应先计算b4ac的值；当b4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数根；当b4ac<0时，方程没有实数根。

三、知识应用 例 解方程4x+x-3=0 解： 这里 a=4，b=1，c=-3 ∵ b-4ac=1-4×4×（-3）=49>0,

2

2

2

222bb24ac14917∴ x

2a228即 x13,x21. 4说明：师生共同完成，教师规范格式并强调注意事项。

注意:(1) 如果方程不是一般形式，要化为一般形式后，再确定a，b，c的值 (2)对a，b，c的值，要注意其正负符号，如此题中c=-3． 四、课堂训练：

P38 练习题（1）---（4）。 找四名同学上黑板做。 五、小结

1．本节课我们推导出了一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即

2

求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合运用，对于a0，b4ac≥0，以及由

2a0，知4a20等条件在推导过程中的应用，亦要弄懂其道理。

2．应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写成a、b、c的数值以及计算b4ac的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程。

2六、作业： 课本习题P38 1，2 七、板书设计

解一元二次方程——公式法 练习： 推导公式： 例 练习 ---------- -------------- ---------- -------- ---------- -------------- ---------- -------- ---------- -------------- ---------- -------- ---------- -------------- ----------- -------- 第四课时 一、复习引入

1．一元二次方程的解法，已经学过了哪几种？(直接开平方法，配方法，求根公式法) 2．对于方程x-9=0，上述三种解法是不是都可用？哪一种解法比较简便？(直接开平方法)

从上面的例子可见，同一个题目可以用多种方法来解，我们应该“因题而宜”，选取一种较好的解法，方法越多，我们选取的可能性就越大.

今天我们再学一种方法，叫做一元二次方程的因式分解法． 二、一起探究

我们以方程x-9=0为例，这个方程的右边是0，左边可以分解成两个一次因式的乘积即 (x+3)(x-3)=0①

我们知道a·b=0a=0或b=0。语言表述：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．

提问： 1．什么叫方程的根？(使方程左右两边相等的未知数的值)

2．观察什么数是方程①的根？即什么数使方程①的左边乘积为零？(使x+3等于0或使x-3等于0).注意用或字，意思是两个因式中有一个等于0就可使乘积为0，不必要两个因式同时为0.因此我们可以得到x=-3或x=3，即x1=-3，x2=-3

像这样，把一元二次方程的一边划为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解。

三、做一做

22

用因式分解法解下列方程：

(1)x27x0;(2)(4)x2(3)4x290;1x; 2x22x10.学生独立运用因式分解法完成求解过程，老师对学生困难的学生给与帮助。 例 用因式分解法解下列方程： (1) 3(x-1)=2(x-1); (2) (x+5)=49.

分析：这两个方程有什么特点？（可以把x-1和x+5分别看作整体） 解：（1）原方程可化为 3(x-1)-2(x-1)=0 （x-1)（3x-5）=0 得 x-1=0，或3x-5=0 所以x11,x22

2

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5 3（2）原方程可化为 (x+5)-7=0 (x+12)(x-2)=0. 得 x+12=0,或x-2=0 所以 x112,x22 四、大家谈谈

1．因式分解适当解什么样的一元二次方程？

2．解一元二次方程的方法有哪几种？根据你学习的体会，谈谈通常你是如何选择解法的。

学生小组交流。

结论：（1）对于一元二次方程的一般形式，当方程左边无常数项、一次项系数为0或是完全平方式时，方程均可使用因式分解法求解。

（2）在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法．因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法．在解一元二次方程时，应据方程的结构特点，选择恰当的方法去解．

（3）直接开平方法与因式分解法中都蕴含着由二次方程向一次方程转化的思想方法．由高次方程向低次方程的转化是解高次方程的思想方法．

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请你用适当的方法解下列方程： (1) (x+2)=2x+4; (2) (3x+1)-4=0; (3) 3x-2=9x-4; (4) 4x-12x+5=0. 五、练习： 课本P40 六、小结

1．因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”

2．因式分解法解一元二次方程的步骤是： （1）化方程为一般形式； （2）将方程左边因式分解；

（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程； （4）两个一元一次方程的解就是原方程的解． 但要具体情况具体分析．

3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．

七、板书设计

解一元二次方程——因式分解法 做一做1 例5 做一做2 练习

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