Comprehensive Tutoring Operation System
全方位教学辅导教案
姓 名 教 学 内 容 重 点 难 点 教 学 目 标 性 别 年 级 高一 函数与映射的概念及其函数的表示法 教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 课前检作业完成情况： 查与交 流 交流与沟通 一、函数的概念 针 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 对 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 性 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 授 问题1：y1（xR）是函数吗？ 课 x2问题2：yx与y是同一函数吗？ x观察对应： 教 学 过 程 A941开平方B3-32-21-1A求正弦B30450600900(2)A123(4)乘以201223221(1)A1-12-23-3(3)求平方B149B123456 二、讲解新课： 全方位课外辅导体系
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（一）函数的有关概念 设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的函数，记作 yf(x)， xA 其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数yf(x)的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA（B）叫做函数y=f(x)的值域. 函数符号yf(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x). (1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应 f:AB 这里 A, B 为非空的数集. f(x)|xA：（2）A：定义域，原象的集合；值域，象的集合,其中f(x)|xA B ；f：对应法则 ， xA ， yB （3）函数符号：yf(x) y是 x 的函数，简记 f(x) （二）已学函数的定义域和值域 1．一次函数f(x)axb(a0):定义域R, 值域R; k2．反比例函f(x)(k0):定义域x|x0, 值域x|x0; x3．二次函数f(x)ax2bxc(a0):定义域R 4acb24acb2值域：当a0时，y|y；当a0时，y|y 4a4a（三）函数的值：关于函数值 f(a) 例：f(x)=x2+3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11 注意：1在yf(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样 2f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象” 3f(x)与f(a)是不同的，前者为变数，后者为常数 （四）函数的三要素： 对应法则f、定义域A、值域f(x)|xA 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数 三、例题讲解 例1 求下列函数的定义域： 11① f(x)；② f(x)3x2；③ f(x)x1. x22x 例2 已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1). 例3下列函数中哪个与函数yx是同一个函数？ 全方位课外辅导体系
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⑴y x；⑵y23x3；⑶yx2 例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ (x3)(x5)①y1y2x5 x3②y1x1x1 y2(x1)(x1) ③f1(x)(2x5)2 f2(x)2x5 二、函数－区间的概念及求定义域的方法 教学过程： 一、复习引入： 函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定 前面我们已经学习了函数的概念，，现在我们来学习区间的概念和记号 二、讲解新课： 1．区间的概念和记号 在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号. 设a,bR ,且a 读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.还可把满足xa，x>a，xb，x 例4 若函数yax2ax 11例5 若函数yf(x)的定义域为[1，1]，求函数yf(x)f(x)的定义域 44 求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R； ②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 求解函数解析式 1的定义域是R，求实数a 的取值范围 a例6 已知f(x)满足2f(x)f(1)3x，求f(x)； x 例7 设二次函数f(x)满足f(x2)f(2x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式. 四、练习： 全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 1．设f(x)的定义域是[3，2]，求函数f(x2)的定义域 2．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x1, 求f(x)的解析式 ）x2x,求f(x) 3．若f(x1 检测：补充：1 已知：f(x)=x2x+3 求： f(x+1), f(1) x 2 已知函数f(x)=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]. 1x3 若f() 求f(x) x1x 三、函数－映射 内容分析： 本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识因此，要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节，映射是是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念映射中涉及的“原象的集合A”“象的集合B”以及 “从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合随着内容的增多和深入，可以逐渐加深对映射概念的理解，例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都是映射的例子映射是现代数学的一个基本概念 教学过程： 一、复习引入： 在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答） ①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系 ②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应 ③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应 ④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应 全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System ⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应 函数的概念 本节我们将学习一种特殊的对应—映射. 二、讲解新课：看下面的例子： 设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集A941(1)A1-12-23-3(3)求平方B149A123(4)开平方B3-32-21-1A求正弦B30450600900(2)乘以201223221B123456 说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中 的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应 映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射 记作：f:AB 象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且aA,bB，如果元素a和元素b 对应，则元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调） ①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的； ②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性； ③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性； ④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性. 指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一 思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？ 回答：对于（1），在集合A中的每一个元素，在集合B中都有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A到集合B的映射 思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射? 一对一，多对一是映射 但一对多显然不是映射 全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 辨析： ①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等； ②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的； ⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集. 映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可； 三、例题讲解 例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？ a e a e a e b f b f b f c g c g c g d d (是) （不是） （是） 是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的 例2下列各组映射是否同一映射？ a e a e d e b f b f b f c g c g c g 例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？ （1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}， 对应法则f:x2x1 （2）设AN*,B{0,1}，对应法则f:xx除以2得的余数 （3）AN，B{0,1,2}，f:xx被3除所得的余数 111（4）设X{1,2,3,4},Y{1,,,}f:xx取倒数 234 （5）A{x|x2,xN},BN，f:x小于x的最大质数 四、练习： 1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是） 2．设A=N*，B={0，1}，集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A中没有象）） 全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 3．A=Z，B=N*，集合A中的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是） 4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A中的元素x按照对应法则“f ：a b=(a1)2”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是） 5．在从集合A到集合B的映射中，下列说法哪一个是正确的？ （A）B中的某一个元素b的原象可能不止一个 （B）A中的某一个元素a的象可能不止一个 （C）A中的两个不同元素所对应的象必不相同 （D）B中的两个不同元素的原象可能相同 6．下面哪一个说法正确？ （A）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射 （B）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射 （C）如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能建立一个映射 （D）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立一个映射 2n12x17．集合A=N，B={m|m=,n∈N},f:x→y=，x∈A，y∈B.请计算在2n12x1911f作用下，象，的原象分别是多少.( 5，6.) 11132x19911分析：求象的原象只需解方程=求出x即可.同理可求的原象. 112x11113 课 堂 检 测 课 后 1 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） (x3)(x5)作 业 ⑴y1，y2x5；⑵y1x1x1，y2(x1)(x1)； x3⑶f(x)x，g(x)x2；⑷f(x)3x4x3，F(x)x3x1； ⑸f1(x)(2x5)2，f2(x)2x5 A ⑴、⑵ B ⑵、⑶ C ⑷ D ⑶、⑸ 2 函数yf(x)的图象与直线x1的公共点数目是（ ） A 1 B 0 C 0或1 D 1或2 x2(x1)3 已知f(x)x2(1x2)，若f(x)3，则x的值是（ ） 2x(x2) 全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System A 1 B 1或33 C 1，或3 D 3 221x1(x0),2若f(a)a.则实数a的取值范围是 4 设函数f(x)1(x0).xx25 函数y2的定义域 x46 若二次函数yax2bxc的图象与x轴交于A(2,0),B(4,0)，且函数的最大值为9， 则这个二次函数的表达式是 7 函数y(x1)0xx的定义域是__________________ 8 函数f(x)x2x1的最小值是_________________ 39 求函数f(x)x1的定义域 x110.x1,x2是关于x的一元二次方程x22(m1)xm10的两个实根，又yx12x22，求yf(m)的解析式及此函数的定义域 11 已知函数f(x)ax22ax3b(a0)在[1,3]有最大值5和最小值2，求a、b的 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容