第二节 排列与组合
考点一 排 列 问 题 [例1] 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数： (1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起； (5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．
5
[自主解答] (1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A7＝2 520种排法．
(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040种排法．
3(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A3种排法；女生必须2
站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A2种排法，
根据分步乘法计数原理， 共有A3A4A23·4·2＝288种排法．
4
(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A4种排法，男生在4个女生隔成的5个空中43
安排共有A3A5＝1 440种排法． 5种排法，故共有A4·
(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A15＝5种排法；再安排其他人，
16有A6A6＝3 600种排法． 6＝720种排法．所以共有A5·
【互动探究】
本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，有多少种排法？
解：(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有A3A53·5＝720种排法．
1．解决排列问题的主要方法 直接法 捆绑法 把符合条件的排列数直接列式计算 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看成一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 定序问题除法处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 插空法 除法法 2．解决排列类应用题的策略 (1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置． (2)分排问题直排法处理．
(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法．
1．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!
解析：选C 把一家三口看成一个排列，然后再排列这3家，所以满足题意的坐法种数
334
为A33(A3)＝(3！).
2．(2014·南充模拟)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有( )
A．30种 B．90种 C．180种 D．270种
22
C2C25C35C33
解析：选B 选分组，再排列．分组方法共有2，因此共有2·A＝90.
A2A23
考点二
组 合 问 题 [例2] (1)若从1,2,3，„，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是( )
A．60 B．63 C．65 D．66
(2)(2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___(用数字作答)． [自主解答] (1)因为从1,2,3，„，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶
422
数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有C45＋C4＋C5C4＝66种
不同的取法．
(2)按每科选派人数分为3,1,1和2,2,1两类．
11131113当选派人数为3,1,1时，有3类，共有C33C4C5＋C3C4C5＋C3C4C5＝200种选派方法． 21212122当选派人数为2,2,1时，有3类，共有C23C4C5＋C3C4C5＋C3C4C5＝390种选派方法．
故共有590种选派方法．[答案] (1)D (2)590 1．解决组合应用题的一般思路
首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；然后局部分步，用到分步乘法计数原理．
2．组合问题的常见题型及解题思路
常见题型有选派问题，抽样问题，图形问题，集合问题，分组问题．解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清问题是否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”解决，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题． 3．含有附加条件的组合问题的常用方法
通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解．
1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法的种数为( )
A．30 B．35 C．42 D．48
1
解析：选A 法一：分两种情况：(1)2门A,1门B，有C23C4＝12种选法；(2)1门A,2门2
B，有C13C4＝3×6＝18种选法．所以共有12＋18＝30种选法．
法二：排除法：A类3门，B类4门，共7门，选3门，A，B各至少选1门，有C37－
33C3－C4＝35－1－4＝30种选法．
2．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)种数为( )
A．10 B．15 C．20 D．30
解析：选C 分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形种数为2＋6＋12＝20.
高频考点
1．排列与组合是高中数学中的重要内容，也是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
2．高考对排列与组合综合应用题的考查主要有以下几个命题角度： (1)相邻问题；(2)相间问题；(3)特殊元素(位置)问题；(4)多元问题等．
[例3] (1)(2013·烟台模拟)有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有______种(用数字作答)．
(2)(2014·西安模拟)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种(用数字作答)．
[自主解答] (1)取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有三种情况：1144,2233,1234.
4
所取卡片是1144的共有A44种排法．所取卡片是2233的共有A4种排法．
考点三 排列与组合的综合应用 所取卡片是1234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是
14243444
红色，共有A44＋C4A4＋C4A4＋C4A4＋A4＝16A4种排法，
所以共有18A44＝18×4×3×2×1＝432种排法． (2)甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A44种方法． 乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A44种方法．
4
丙传第一棒，共有C1A4种方法． 2·
414由分类加法计数原理得，共有A4A4＝96种方法．[答案] (1)432 (2)96 4＋A4＋C2·
排列与组合综合问题的常见类型及解题策略
(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排
好之后，再考虑它们“内部”的排列．
(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．
(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．
(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类计数原理求出排列总数．
1．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )
2828282
A．A88A9 B．A8C9 C．A8A7 D．A8C7
解析：选A 相间问题用插空法，8名学生先排，有A8产生9个空，2位老师插空，8种排法，
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有A29种排法，所以最终有A8A9种排法．
2．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为( )
A．360 B．288 C．216 D．96
2232解析：选B 先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，则有C3·A2·A3·A4种排法，再从中22排除甲站两端的排法，所以所求排法种数为C2A2A3A4－2C2A2·A2A23·2·3·3·2·3＝6×(6×12－
24)3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)．
解析：选出两人看成一个整体，再全排列．共有C2A34·3＝36种分配方案．答案：36 1个识别——排列问题与组合问题的识别方法 排列 识别方法 若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关 若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关 3个注意点——求解排列与组合问题的三个注意点 (1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后处理．
(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决．分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．
(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．
组合
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