等差数列讲义 (1)

教学内容 知识梳理 一、等差数列的相关概念 1、等差数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d表示。 2、等差中项 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A推广：2an 若等差数列ab或2A2ab an-1an1(n2)2an1anan2 3、等差数列通项公式 an的首项是a1，公差是d，则ana1n1d． anam。 nm 推广：anam(nm)d，从而d4、等差数列的前n项和公式 na1annn1SSnad． 等差数列的前n项和的公式：①n；②n1225、等差数列的通项公式与前n项的和的关系 s1,n1an( 数列{an}的前n项的和为sna1a2an). ss,n2nn1 二、等差数列的性质 1、等差数列与函数的关系 当公差d0时， (1)等差数列的通项公式an (2)前n和Snna1a1(n1)ddna1d是关于n的一次函数,斜率为d； n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0。 222 2、等差数列的增减性 若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列， 若公差d0，则为常数列。 3、通项的关系 当mnpq时,则有amanapaq， 特别地，当mn2p时，则有aman注：a1an 4、常见的等差数列 2ap. a2an1a3an2 （1）若an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列。 （2）若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，„也成等差数列。 （3）数列{an}为等差数列,每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列。 5、前n项和的性质 设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和. ①当项数为偶数2n时，则 *

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na1a2n1nan 2na2a2nnan1 S偶a2a4a6a2n2 S偶S奇nan1nannan1an S奇a1a3a5a2n1S奇nanan S偶nan1an1②当项数为奇数2n1时，则 S奇n1S2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1  SSaSnaSnn+1n+1奇偶偶偶 （其中an+1是项数为2n1的等差数列的中间项） 6、求Sn的最值（或求an中正负分界项） （1）因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN. （2）①“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和 即当a10，d0，由*an0可得Sn达到最大值时的n值. an10②“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和. an0 即当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值. a0n1三、等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定方法： （1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN)an是等差数列； （2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2； （3）数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）； 2、等差数列的证明方法： 定义法：若anan1d或an1and(常数nN)an是等差数列． （4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）. 精讲精练 题型一：等差数列前n项和公式的应用 例1：已知等数列an中： （1）a1 31,d,sn15，求n及an 221,s2a3，则a2、Sn 2（2）已知等数列an中：Sn为其前n项和，若a1 例2. 已知等数列an中，记Sn为其前n项和：

2 （1） 设Sk2550，求a和k的值 （2） 设bn 题型二：等差数列前n项和性质的应用 sn，求b3b7b11......b4n1的值 n例3. 已知等差数列an中，记Sn为其前n项和，若S1284,S20460,求S28 例4. 已知等数列an的前3项和为6，前8项和为-4 （1）求数列an的前n项和Sn （2）求数列 例5. 已知数列an的前n项和为Sn，且满足a11,an2SnSn10(n2)

Sn的前n项和Tn n 3

（1） 求证数列11是等差数列；求数列的前n项和Tn SnSn（2） 求an的通项an 等差数列通项公式、前n项和公式的综合应用 21. 已知等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am0,S2m138,则m能力提升  等差数列前n项和之比 2.有二个等差数列an、bn满足 a1a2...an7n2a,求5的值 b1b2...bnn3b5裂项相消法求数列的和 13. 已知等差数列an的前n项和为Sn，a55,S515，则求数列的前100项和 aann1

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等差数列前n项和的最值问题 4. 已知等差数列an，且满足an404n，前多少项的和最大，最大值为多少 课堂总结 课后作业 1、(2007安徽)等差数列an的前n项和为Sn，若a21,a33,则S4＝（ ） A．12 B．10 C.8 D．6 2、(2008广东)记等差数列an的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公 差d=（ ） A．7 B. 6 C. 3 D. 2 3、（2009全国）等差数列{an}中，已知a11，a2a54，an33，则n为（ ） 3A．48 B．49 C.50 D．51 4、（2007四川）等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ） A．9 B．10 C.11 D．12 5、（2008福建）设Sn是等差数列an的前n项和，若A．1 B．－1 C．2 D．1 2a55S,则9（ ） a39S56、（2010北京）已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( ) A．α1＋α101＞0 B．α2＋α100＜0 C．α3＋α99＝0 D．α51＝51 7、（2010全国II理）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则( ) A．a1a8a4a5 B．a8a1a4a5 C.a1+a8a4+a5 D．a1a8=a4a5 8、（2012北京理）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则

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这个数列有（ ） A．13项 B．12项 C.11项 D．10项 9、（2007全国Ⅱ）已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为Sn= . 10、（2006山东）设Sn为等差数列an的前n项和，S4＝14，S10S730，则S9＝ . 11、（2011全国Ⅰ）等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a1030,a2050. （Ⅰ）求通项an； （Ⅱ）若Sn=242，求n. 12、(2008宁夏理)已知数列{an}是一个等差数列，且a21，a55. （1）求{an}的通项an；（2）求{an}前n项和Sn的最大值. S13、（2010全国）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列nn的前n项和，求Tn.

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