2021年湖南省岳阳市中|考数学试卷
一、选择题 (本大题共8小题 ,每题3分 ,总分值24分 ,在每道小题给出的四个选项中 ,选出符合要求的一项 )
1． (3.00分 ) (2021•岳阳 )2021的倒数是 ( ) A．2021
B．
C．﹣
D．﹣2021
2． (3.00分 ) (2021•岳阳 )以下运算结果正确的选项是 ( ) A．a3•a2 =a5
B． (a3 )2 =a5
C．a3 +a2 =a5
D．a2 =﹣a2
﹣
3． (3.00分 ) (2021•岳阳 )函数y =A．x＞3
B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0
中自变量x的取值范围是 ( )
4． (3.00分 ) (2021•岳阳 )抛物线y =3 (x﹣2 )2 +5的顶点坐标是 ( ) A． (﹣2 ,5 )
B． (﹣2 ,﹣5 ) C． (2 ,5 ) D． (2 ,﹣5 )
,其解集在数轴上表示正确的选项
5． (3.00分 ) (2021•岳阳 )不等式组是 ( )
A． B．
C． D．
6． (3.00分 ) (2021•岳阳 )在 \"美丽乡村〞评选活动中 ,某乡镇7个村的得分如下：98 ,90 ,88 ,96 ,92 ,96 ,86 ,这组数据的中位数和众数分别是 ( ) A．90 ,96 B．92 ,96 C．92 ,98
D．91 ,92
7． (3.00分 ) (2021•岳阳 )以下命题是真命题的是 ( ) A．平行四边形的对角线相等
B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点 C．五边形的内角和是540° D．圆内接四边形的对角相等
8． (3.00分 ) (2021•岳阳 )在同一直角坐标系中 ,二次函数y =x2与反比例函数y = (x＞0 )的图象如下图 ,假设两个函数图象上有三个不同的点A (x1 ,m ) ,B
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(x2 ,m ) ,C (x3 ,m ) ,其中m为常数 ,令ω =x1 +x2 +x3 ,那么ω的值为 ( )
A．1
B．m C．m2 D．
二、填空题 (本大题共8小题 ,每题4分 ,总分值32分 ) 9． (4.00分 ) (2021•桂林 )因式分解：x2﹣4 = ．
10． (4.00分 ) (2021•岳阳 )2021年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台 ,全市方案争取 \"全面改薄〞专项资金120000000元 ,用于改造农村义务教育薄弱学校100所 ,数据120000000科学记数法表示为 ．
11． (4.00分 ) (2021•岳阳 )关于x的一元二次方程x2 +2x +k =0有两个不相等的实数根 ,那么k的取值范围是 ．
12． (4.00分 ) (2021•岳阳 )a2 +2a =1 ,那么3 (a2 +2a ) +2的值为 ． 13． (4.00分 ) (2021•岳阳 )在﹣2 ,1 ,4 ,﹣3 ,0这5个数字中 ,任取一个数是负数的概率是 ．
14． (4.00分 ) (2021•岳阳 )如图 ,直线a∥b ,∠l =60° ,∠2 =40° ,那么∠3 = ．
15． (4.00分 ) (2021•岳阳 )<九章算术>是我国古代数学名著 ,书中有以下问题： \"今有勾五步 ,股十二步 ,问勾中容方几何 ?〞其意思为： \"今有直角三角形 ,勾 (短直角边 )长为5步 ,股 (长直角边 )长为12步 ,问该直角三角形能容纳的正方形边长最|大是多少步 ?〞该问题的答案是 步．
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16． (4.00分 ) (2021•岳阳 )如图 ,以AB为直径的⊙O与CE相切于点C ,CE交AB的延长线于点E ,直径AB =18 ,∠A =30° ,弦CD⊥AB ,垂足为点F ,连接AC ,OC ,那么以下结论正确的选项是 ． (写出所有正确结论的序号 ) ①
=
；
π；
②扇形OBC的面积为③△OCF∽△OEC；
④假设点P为线段OA上一动点 ,那么AP•OP有最|大值20.25．
三、解答题 (本大题共8小题 ,总分值64分 ,解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 )
17． (6.00分 ) (2021•岳阳 )计算： (﹣1 )2﹣2sin45° + (π﹣2021 )0 +|﹣
|
18． (6.00分 ) (2021•岳阳 )如图 ,在平行四边形ABCD中 ,AE =CF ,求证：四边形BFDE是平行四边形．
19． (8.00分 ) (2021•岳阳 )如图 ,某反比例函数图象的一支经过点A (2 ,3 )和点B (点B在点A的右侧 ) ,作BC⊥y轴 ,垂足为点C ,连结AB ,AC． (1 )求该反比例函数的解析式；
(2 )假设△ABC的面积为6 ,求直线AB的表达式．
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20． (8.00分 ) (2021•岳阳 )为了树立文明乡风 ,推进社|会|主|义新农村建设 ,某村决定组建村民文体团队 ,现围绕 \"你最|喜欢的文体活动工程 (每人仅限一项 )〞 ,在全村范围内随机抽取局部村民进行问卷调查 ,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答以下问题：
(1 )这次参与调查的村民人数为 人； (2 )请将条形统计图补充完整；
(3 )求扇形统计图中 \"划龙舟〞所在扇形的圆心角的度数；
(4 )假设在 \"广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟〞这四个工程中任选两项组队参加端午节庆典活动 ,请用列表或画树状图的方法 ,求恰好选中 \"花鼓戏、划龙舟〞这两个工程的概率．
21． (8.00分 ) (2021•岳阳 )为落实党中|央 \"长江大保护〞新开展理念 ,我市持续推进长江岸线保护 ,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行撤除 ,回填土方和复绿施工 ,为了缩短工期 ,该工程队增加了人力和设备 ,实际工作效率比原方案每天提高了20% ,结果提前11天完成任务 ,求实际平均每天施工多少平方米 ?
22． (8.00分 ) (2021•岳阳 )图1是某小区入口实景图 ,图2是该入口抽象成的平面示意图．入口BC宽3.9米 ,门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯 ,点O与地面BC的距离为3.3米 ,灯臂OM长为1.2米 (灯罩长度忽略不计 ) ,∠AOM =60°．
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(1 )求点M到地面的距离；
(2 )某搬家公司一辆总宽2.55米 ,总高3.5米的货车从该入口进入时 ,货车需与护栏CD保持0.65米的平安距离 ,此时 ,货车能否平安通过 ?假设能 ,请通过计算说明；假设不能 ,请说明理由． (参考数据：
≈1.73 ,结果精确到0.01米 )
23． (10.00分 ) (2021•岳阳 )在Rt△ABC中 ,∠BAC =90° ,CD为∠ACB的平分线 ,将∠ACB沿CD所在的直线对折 ,使点B落在点B′处 ,连结AB' ,BB' ,延长CD交BB'于点E ,设∠ABC =2α (0°＜α＜45° )．
(1 )如图1 ,假设AB =AC ,求证：CD =2BE；
(2 )如图2 ,假设AB≠AC ,试求CD与BE的数量关系 (用含α的式子表示 )； (3 )如图3 ,将 (2 )中的线段BC绕点C逆时针旋转角 (α +45° ) ,得到线段FC ,连结EF交BC于点O ,设△COE的面积为S1 ,△COF的面积为S2 ,求表示 )．
24． (10.00分 ) (2021•岳阳 )抛物线F：y =x2 +bx +c的图象经过坐标原点O ,且与x轴另一交点为 (﹣
,0 )．
(用含α的式子
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(1 )求抛物线F的解析式； (2 )如图1 ,直线l：y =
x +m (m＞0 )与抛物线F相交于点A (x1 ,y1 )和点B (x2 ,y2 )
(点A在第二象限 ) ,求y2﹣y1的值 (用含m的式子表示 )；
(3 )在 (2 )中 ,假设m = ,设点A′是点A关于原点O的对称点 ,如图2． ①判断△AA′B的形状 ,并说明理由；
②平面内是否存在点P ,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形 ?假设存在 ,求出点P的坐标；假设不存在 ,请说明理由．
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2021年湖南省岳阳市中|考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题 (本大题共8小题 ,每题3分 ,总分值24分 ,在每道小题给出的四个选项中 ,选出符合要求的一项 )
1． (3.00分 ) (2021•岳阳 )2021的倒数是 ( ) A．2021
B．
C．﹣
D．﹣2021
【分析】直接利用倒数的定义进而分析得出答案． 【解答】解：2021的倒数是应选：B．
【点评】此题主要考查了倒数 ,正确把握倒数的定义是解题关键．
2． (3.00分 ) (2021•岳阳 )以下运算结果正确的选项是 ( ) A．a3•a2 =a5
B． (a3 )2 =a5
C．a3 +a2 =a5
D．a﹣2 =﹣a2
,
【分析】根据积的乘方 ,幂的乘方 ,负指数幂的定义一一判断即可解决问题； 【解答】解：A、a3•a2 =a5 ,正确 ,故本选项符合题意； B、 (a3 )2 =a6 ,故本选项不符合题意；
C、不是同类项不能合并 ,故本选项不符合题意； D、a﹣2 =应选：A．
【点评】此题考查积的乘方 ,幂的乘方 ,负指数幂的定义 ,解题的关键是熟练掌握根本知识 ,属于中|考常考题型．
3． (3.00分 ) (2021•岳阳 )函数y =A．x＞3
B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0
中自变量x的取值范围是 ( )
,故本选项不符合题意 ,
【分析】根据二次根式的性质 ,被开方数大于或等于0 ,可以求出x的范围． 【解答】解：函数y =
中x﹣3≥0 ,
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所以x≥3 , 应选：C．
【点评】此题考查了求函数自变量的范围 ,一般从三个方面考虑： (1 )当函数表达式是整式时 ,自变量可取全体实数； (2 )当函数表达式是分式时 ,考虑分式的分母不能为0； (3 )当函数表达式是二次根式时 ,被开方数非负．
4． (3.00分 ) (2021•岳阳 )抛物线y =3 (x﹣2 )2 +5的顶点坐标是 ( ) A． (﹣2 ,5 )
B． (﹣2 ,﹣5 ) C． (2 ,5 ) D． (2 ,﹣5 )
【分析】根据二次函数的性质y =a (x +h )2 +k的顶点坐标是 (﹣h ,k )即可求解． 【解答】解：抛物线y =3 (x﹣2 )2 +5的顶点坐标为 (2 ,5 ) , 应选：C．
【点评】此题考查了二次函数的性质 ,正确记忆y =a (x +h )2 +k的顶点坐标是 (﹣h ,k ) (a≠0 )是关键．
5． (3.00分 ) (2021•岳阳 )不等式组是 ( )
,其解集在数轴上表示正确的选项
A． B．
C． D．
【分析】分别解不等式组进而在数轴上表示出来即可． 【解答】解：解①得：x＜2 , 解②得：x≥﹣1 ,
故不等式组的解集为：﹣1≤x＜2 ,
,
故解集在数轴上表示为：应选：D．
．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组 ,正确掌握解题方法是解题关键．
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6． (3.00分 ) (2021•岳阳 )在 \"美丽乡村〞评选活动中 ,某乡镇7个村的得分如下：98 ,90 ,88 ,96 ,92 ,96 ,86 ,这组数据的中位数和众数分别是 ( ) A．90 ,96 B．92 ,96 C．92 ,98
D．91 ,92
【分析】根据中位数 ,众数的定义即可判断．
【解答】解：将数据从小到大排列：86 ,88 ,90 ,92 ,96 ,96 ,98；可得中位数为92 ,众数为96． 应选：B．
【点评】此题考查众数、中位数的定义 ,解题的关键是熟练掌握根本知识 ,属于中|考根底题．
7． (3.00分 ) (2021•岳阳 )以下命题是真命题的是 ( ) A．平行四边形的对角线相等
B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点 C．五边形的内角和是540° D．圆内接四边形的对角相等
【分析】根据平行四边形的性质、三角形的重心的概念、多边形内角和的计算公式、圆内接四边形的性质判断即可．
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分 ,A是假命题； 三角形的重心是三条边的中线的交点 ,B是假命题； 五边形的内角和 = (5﹣2 )×180° =540° ,C是真命题； 圆内接四边形的对角互补 ,D是假命题； 应选：C．
【点评】此题考查的是命题的真假判断 ,正确的命题叫真命题 ,错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8． (3.00分 ) (2021•岳阳 )在同一直角坐标系中 ,二次函数y =x2与反比例函数y = (x＞0 )的图象如下图 ,假设两个函数图象上有三个不同的点A (x1 ,m ) ,B (x2 ,m ) ,C (x3 ,m ) ,其中m为常数 ,令ω =x1 +x2 +x3 ,那么ω的值为 ( )
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A．1 B．m C．m2 D．
【分析】三个点的纵坐标相同 ,由图象可知y =x2图象上点横坐标互为相反数 ,那么x1 +x2 +x3 =x3 ,再由反比例函数性质可求x3．
【解答】解：设点A、B在二次函数y =x2图象上 ,点C在反比例函数y = (x＞0 )的图象上．因为AB两点纵坐标相同 ,那么A、B关于y轴对称 ,那么x1 +x2 =0 ,因为点C (x3 ,m )在反比例函数图象上 ,那么x3 = ∴ω =x1 +x2 +x3 =x3 = 应选：D．
【点评】此题考查二次函数图象的轴对称性 ,二次函数图象上点纵坐标相同时 ,对应点关于抛物线对称轴对称．
二、填空题 (本大题共8小题 ,每题4分 ,总分值32分 )
9． (4.00分 ) (2021•桂林 )因式分解：x2﹣4 = (x +2 ) (x﹣2 ) ． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：x2﹣4 = (x +2 ) (x﹣2 )． 故答案为： (x +2 ) (x﹣2 )．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式 ,正确应用平方差公式是解题关键．
10． (4.00分 ) (2021•岳阳 )2021年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台 ,全市方案争取 \"全面改薄〞专项资金120000000元 ,用于改造农村义务教育薄弱学校100所 ,数据120000000科学记数法表示为 1.2×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式 ,其中1≤|a|＜10 ,n为整数．确定n的值时 ,要看把原数变成a时 ,小数点移动了多少位 ,n的绝|对值与小数点
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移动的位数相同．当原数绝|对值＞1时 ,n是正数；当原数的绝|对值＜1时 ,n是负数．120000000 =1.2
【解答】解：120000000 =1.2×108 , 故答案为：1.2×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式 ,其中1≤|a|＜10 ,n为整数 ,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11． (4.00分 ) (2021•岳阳 )关于x的一元二次方程x2 +2x +k =0有两个不相等的实数根 ,那么k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式 ,解不等式即可得出结论．
【解答】解：由得：△ =4﹣4k＞0 , 解得：k＜1． 故答案为：k＜1．
【点评】此题考查了根的判别式以及解一元一次不等式 ,解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．此题属于根底题 ,难度不大 ,解决该题型题目时 ,根据根的个数结合根的判别式得出不等式 (或不等式组 )是关键．
12． (4.00分 ) (2021•岳阳 )a2 +2a =1 ,那么3 (a2 +2a ) +2的值为 5 ． 【分析】利用整体思想代入计算即可； 【解答】解：∵a2 +2a =1 , ∴3 (a2 +2a ) +2 =3×1 +2 =5 , 故答案为5．
【点评】此题考查代数式求值 ,解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题 ,属于根底题．
13． (4.00分 ) (2021•岳阳 )在﹣2 ,1 ,4 ,﹣3 ,0这5个数字中 ,任取一个数是负数的概率是
．
【分析】根据概率公式：P (A ) =事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果
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数可得答案．
【解答】解：任取一个数是负数的概率是：P = , 故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式 ,关键是掌握公式．
14． (4.00分 ) (2021•岳阳 )如图 ,直线a∥b ,∠l =60° ,∠2 =40° ,那么∠3 = 80° ．
【分析】根据平行线的性质求出∠4 ,根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵a∥b , ∴∠4 =∠l =60° ,
∴∠3 =180°﹣∠4﹣∠2 =80° , 故答案为：80°．
【点评】此题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理 ,掌握两直线平行 ,同位角相等是解题的关键．
15． (4.00分 ) (2021•岳阳 )<九章算术>是我国古代数学名著 ,书中有以下问题： \"今有勾五步 ,股十二步 ,问勾中容方几何 ?〞其意思为： \"今有直角三角形 ,勾 (短直角边 )长为5步 ,股 (长直角边 )长为12步 ,问该直角三角形能容纳的正方形边长最|大是多少步 ?〞该问题的答案是
步．
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【分析】如图1 ,根据正方形的性质得：DE∥BC ,那么△ADE∽△ACB ,列比例式可得结论；如图2 ,同理可得正方形的边长 ,比拟可得最|大值． 【解答】解：如图1 ,∵四边形CDEF是正方形 , ∴CD =ED ,DE∥CF ,
设ED =x ,那么CD =x ,AD =12﹣x , ∵DE∥CF ,
∴∠ADE =∠C ,∠AED =∠B , ∴△ADE∽△ACB , ∴∴x =
,
, ,
如图2 ,四边形DGFE是正方形 , 过C作CP⊥AB于P ,交DG于Q , 设ED =x ,
S△ABC =AC•BC =AB•CP , 12×5 =13CP , CP =
,
同理得：△CDG∽△CAB , ∴
,
∴ ,
x = ,
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∴该直角三角形能容纳的正方形边长最|大是故答案为：
．
(步 ) ,
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质 ,设未知数 ,构建方程是解题的关键．
16． (4.00分 ) (2021•岳阳 )如图 ,以AB为直径的⊙O与CE相切于点C ,CE交AB的延长线于点E ,直径AB =18 ,∠A =30° ,弦CD⊥AB ,垂足为点F ,连接AC ,OC ,那么以下结论正确的选项是 ①③④ ． (写出所有正确结论的序号 ) ①
=
；
π；
②扇形OBC的面积为③△OCF∽△OEC；
④假设点P为线段OA上一动点 ,那么AP•OP有最|大值20.25．
【分析】利用垂径定理对①进行判断；利用圆周角定理得到∠BOC =2∠A =60° ,
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那么利用扇形的面积公式可计算出扇形OBC的面积 ,于是可对②进行判断；利用切线的性质得到OC⊥CE ,然后根据相似三角形的判定方法对③进行判断；由于AP•OP =﹣ (OP﹣ )2 +
,那么可利用二次函数的性质对④进行判断．
【解答】解：∵弦CD⊥AB , ∴
=
,所以①正确；
∴∠BOC =2∠A =60° , ∴扇形OBC的面积 =∵⊙O与CE相切于点C , ∴OC⊥CE , ∴∠OCE =90 ,
∵∠COF =∠EOC ,∠OFC =∠OCE , ∴△OCF∽△OEC；所以③正确； AP•OP = (9﹣OP )•OP =﹣ (OP﹣ )2 +当OP =时 ,AP•OP的最|大值为故答案为①③④．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时 ,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件 ,以充分发挥根本图形的作用 ,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了垂径定理、圆周角定理和切线的性质．
三、解答题 (本大题共8小题 ,总分值64分 ,解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 )
17． (6.00分 ) (2021•岳阳 )计算： (﹣1 )2﹣2sin45° + (π﹣2021 )0 +|﹣
|
,
=
π ,所以②错误；
,所以④正确．
【分析】此题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、绝|对值4个考点．在计算时 ,需要针对每个考点分别进行计算 ,然后根据实数的运算法那么求得计算结果．
【解答】解：原式 =1﹣2×
+1 +
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=1﹣ =2．
+1 +
【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力 ,是各地中|考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝|对值等考点的运算．
18． (6.00分 ) (2021•岳阳 )如图 ,在平行四边形ABCD中 ,AE =CF ,求证：四边形BFDE是平行四边形．
【分析】首|先根据四边形ABCD是平行四边形 ,判断出AB∥CD ,且AB =CD ,然后根据AE =CF ,判断出BE =DF ,即可推得四边形BFDE是平行四边形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形 , ∴AB∥CD ,且AB =CD , 又∵AE =CF , ∴BE =DF ,
∴BE∥DF且BE =DF ,
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用 ,要熟练掌握 ,解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
19． (8.00分 ) (2021•岳阳 )如图 ,某反比例函数图象的一支经过点A (2 ,3 )和点B (点B在点A的右侧 ) ,作BC⊥y轴 ,垂足为点C ,连结AB ,AC． (1 )求该反比例函数的解析式；
(2 )假设△ABC的面积为6 ,求直线AB的表达式．
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【分析】 (1 )把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；
(2 )作AD⊥BC于D ,那么D (2 ,b ) ,即可利用a表示出AD的长 ,然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程求得b的值 ,进而求得a的值 ,根据待定系数法 ,可得答案．
【解答】解： (1 )由题意得 ,k =xy =2×3 =6 ∴反比例函数的解析式为y =．
(2 )设B点坐标为 (a ,b ) ,如图作AD⊥BC于D ,那么D (2 ,b )
∵反比例函数y =的图象经过点B (a ,b ) ∴b = ∴AD =3﹣． ∴S△ABC =BC•AD =a (3﹣ ) =6 解得a =6 ∴b = =1 ∴B (6 ,1 )．
,
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设AB的解析式为y =kx +b ,
将A (2 ,3 ) ,B (6 ,1 )代入函数解析式 ,得
,
解得
,
直线AB的解析式为y =﹣x +4．
【点评】此题考查了反比例函数 ,利用待定系数法求反比例函数的解析式 ,正确利用a ,b表示出BC ,AD的长度是关键．
20． (8.00分 ) (2021•岳阳 )为了树立文明乡风 ,推进社|会|主|义新农村建设 ,某村决定组建村民文体团队 ,现围绕 \"你最|喜欢的文体活动工程 (每人仅限一项 )〞 ,在全村范围内随机抽取局部村民进行问卷调查 ,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答以下问题：
(1 )这次参与调查的村民人数为 120 人； (2 )请将条形统计图补充完整；
(3 )求扇形统计图中 \"划龙舟〞所在扇形的圆心角的度数；
(4 )假设在 \"广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟〞这四个工程中任选两项组队参加端午节庆典活动 ,请用列表或画树状图的方法 ,求恰好选中 \"花鼓戏、划龙舟〞这两个工程的概率．
【分析】 (1 )直接利用腰鼓所占比例以及条形图中人数即可得出这次参与调查的村民人数；
(2 )利用条形统计图以及样本数量得出喜欢广场舞的人数；
(3 )利用 \"划龙舟〞人数在样本中所占比例得出 \"划龙舟〞所在扇形的圆心角
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的度数；
(4 )利用树状图法列举出所有的可能进而得出概率．
【解答】解： (1 )这次参与调查的村民人数为：24÷20% =120 (人 )； 故答案为：120；
(2 )喜欢广场舞的人数为：120﹣24﹣15﹣30﹣9 =42 (人 ) , 如下图：
；
(3 )扇形统计图中 \"划龙舟〞所在扇形的圆心角的度数为：
×360° =90°；
(4 )如下图：
,
一共有12种可能 ,恰好选中 \"花鼓戏、划龙舟〞这两个工程的有2种可能 , 故恰好选中 \"花鼓戏、划龙舟〞这两个工程的概率为：．
【点评】此题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的应用和树状图法求概率 ,正确列举出所有可能是解题关键．
21． (8.00分 ) (2021•岳阳 )为落实党中|央 \"长江大保护〞新开展理念 ,我市持续推进长江岸线保护 ,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行撤除 ,回填土方和复绿施工 ,为了
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缩短工期 ,该工程队增加了人力和设备 ,实际工作效率比原方案每天提高了20% ,结果提前11天完成任务 ,求实际平均每天施工多少平方米 ?
【分析】设原方案平均每天施工x平方米 ,那么实际平均每天施工1.2x平方米 ,根据时间 =工作总量÷工作效率结合提前11天完成任务 ,即可得出关于x的分式方程 ,解之即可得出结论．
【解答】解：设原方案平均每天施工x平方米 ,那么实际平均每天施工1.2x平方米 ,
根据题意得：解得：x =500 ,
经检验 ,x =500是原方程的解 , ∴1.2x =600．
答：实际平均每天施工600平方米．
【点评】此题考查了分式方程的应用 ,找准等量关系 ,正确列出分式方程是解题的关键．
22． (8.00分 ) (2021•岳阳 )图1是某小区入口实景图 ,图2是该入口抽象成的平面示意图．入口BC宽3.9米 ,门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯 ,点O与地面BC的距离为3.3米 ,灯臂OM长为1.2米 (灯罩长度忽略不计 ) ,∠AOM =60°．
﹣
=11 ,
(1 )求点M到地面的距离；
(2 )某搬家公司一辆总宽2.55米 ,总高3.5米的货车从该入口进入时 ,货车需与护栏CD保持0.65米的平安距离 ,此时 ,货车能否平安通过 ?假设能 ,请通过计算说明；假设不能 ,请说明理由． (参考数据：
≈1.73 ,结果精确到0.01米 )
【分析】 (1 )构建直角△OMN ,求ON的长 ,相加可得BN的长 ,即点M到地面的
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距离；
(2 )左边根据要求留0.65米的平安距离 ,即取CE =0.65 ,车宽EH =2.55 ,计算高GH的长即可 ,与3.5作比拟 ,可得结论．
【解答】解： (1 )如图 ,过M作MN⊥AB于N ,交BA的延长线于N , Rt△OMN中 ,∠NOM =60° ,OM =1.2 , ∴∠M =30° , ∴ON =OM =0.6 ,
∴NB =ON +OB =3.3 +0.6 =3.9； 即点M到地面的距离是3.9米；
(2 )取CE =0.65 ,EH =2.55 , ∴HB =3.9﹣2.55﹣0.65 =0.7 ,
过H作GH⊥BC ,交OM于G ,过O作OP⊥GH于P , ∵∠GOP =30° , ∴tan30° =∴GP =
=
,
≈0.404 ,
OP =
∴GH =3.3 +0.404 =3.704≈3.70＞3.5 , ∴货车能平安通过．
【点评】此题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识 ,解题的关键是学会添加常用辅助线 ,在直角三角形解决问题 ,属于中|考常考题型．
23． (10.00分 ) (2021•岳阳 )在Rt△ABC中 ,∠BAC =90° ,CD为∠ACB的平分线 ,
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将∠ACB沿CD所在的直线对折 ,使点B落在点B′处 ,连结AB' ,BB' ,延长CD交BB'于点E ,设∠ABC =2α (0°＜α＜45° )．
(1 )如图1 ,假设AB =AC ,求证：CD =2BE；
(2 )如图2 ,假设AB≠AC ,试求CD与BE的数量关系 (用含α的式子表示 )； (3 )如图3 ,将 (2 )中的线段BC绕点C逆时针旋转角 (α +45° ) ,得到线段FC ,连结EF交BC于点O ,设△COE的面积为S1 ,△COF的面积为S2 ,求表示 )．
【分析】 (1 )由翻折可知：BE =EB′ ,再利用全等三角形的性质证明CD =BB′即可； (2 )如图2中 ,结论：CD =2•BE•tan2α．只要证明△BAB′∽△CAD ,可得=
,推出
=
,可得CD =2•BE•tan2α；
=
=
(用含α的式子
(3 )首|先证明∠ECF =90° ,由∠BEC +∠ECF =180° ,推出BB′∥CF ,推出=
=sin (45°﹣α ) ,由此即可解决问题；
【解答】解： (1 )如图1中 ,
∵B、B′关于EC对称 , ∴BB′⊥EC ,BE =EB′ ,
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∴∠DEB =∠DAC =90° , ∵∠EDB =∠ADC , ∴∠DBE =∠ACD ,
∵AB =AC ,∠BAB′ =∠DAC =90° , ∴△BAB′≌CAD , ∴CD =BB′ =2BE．
(2 )如图2中 ,结论：CD =2•BE•tan2α．
理由：由 (1 )可知：∠ABB′ =∠ACD ,∠BAB′ =∠CAD =90° , ∴△BAB′∽△CAD , ∴∴
= =
= ,
,
∴CD =2•BE•tan2α．
(3 )如图 3中 ,
在Rt△ABC中 ,∠ACB =90°﹣2α , ∵EC平分∠ACB ,
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∴∠ECB = (90°﹣2α ) =45°﹣α , ∵∠BCF =45° +α ,
∴∠ECF =45°﹣α +45° +α =90° , ∴∠BEC +∠ECF =180° , ∴BB′∥CF , ∴∵
= =
= ,
=sin (45°﹣α ) ,
∴ =sin (45°﹣α )．
【点评】此题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、锐角三角函数等知识 ,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题 ,属于中|考压轴题．
24． (10.00分 ) (2021•岳阳 )抛物线F：y =x2 +bx +c的图象经过坐标原点O ,且与x轴另一交点为 (﹣
,0 )．
(1 )求抛物线F的解析式； (2 )如图1 ,直线l：y =
x +m (m＞0 )与抛物线F相交于点A (x1 ,y1 )和点B (x2 ,y2 )
(点A在第二象限 ) ,求y2﹣y1的值 (用含m的式子表示 )；
(3 )在 (2 )中 ,假设m = ,设点A′是点A关于原点O的对称点 ,如图2． ①判断△AA′B的形状 ,并说明理由；
②平面内是否存在点P ,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形 ?假设存
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在 ,求出点P的坐标；假设不存在 ,请说明理由．
【分析】 (1 )根据点的坐标 ,利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式； (2 )将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中 ,可求出x1、x2的值 ,利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值 ,做差后即可得出y2﹣y1的值； (3 )根据m的值可得出点A、B的坐标 ,利用对称性求出点A′的坐标．
①利用两点间的距离公式 (勾股定理 )可求出AB、AA′、A′B的值 ,由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；
②根据等边三角形的性质结合菱形的性质 ,可得出存在符合题意得点P ,设点P的坐标为 (x ,y ) ,分三种情况考虑： (i )当A′B为对角线时 ,根据菱形的性质 (对角线互相平分 )可求出点P的坐标； (ii )当AB为对角线时 ,根据菱形的性质 (对角线互相平分 )可求出点P的坐标； (iii )当AA′为对角线时 ,根据菱形的性质 (对角线互相平分 )可求出点P的坐标．综上即可得出结论．
【解答】解： (1 )∵抛物线y =x2 +bx +c的图象经过点 (0 ,0 )和 (﹣∴
,解得：
, x．
x ,得：x2 =m ,
,0 ) ,
∴抛物线F的解析式为y =x2 + (2 )将y =解得：x1 =﹣∴y1 =﹣∴y2﹣y1 = ( (3 )∵m = , ∴点A的坐标为 (﹣
x +m代入y =x2 + ,x2 = +m ,y2 =
,
+m ,
+m ) =
(m＞0 )．
+m )﹣ (﹣
, ) ,点B的坐标为 ( ,2 )．
∵点A′是点A关于原点O的对称点 , ∴点A′的坐标为 (
,﹣ )．
①△AA′B为等边三角形 ,理由如下： ∵A (﹣
, ) ,B (
,2 ) ,A′ (
,﹣ ) ,
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∴AA′ = ,AB = ,A′B = , ∴AA′ =AB =A′B ,
∴△AA′B为等边三角形． ②∵△AA′B为等边三角形 ,
∴存在符合题意的点P ,且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况 ,设点P的坐标为 (x ,y )．
(i )当A′B为对角线时 ,有 ,
解得： ,
, )；
∴点P的坐标为 (2
(ii )当AB为对角线时 ,有 ,
解得： ,
∴点P的坐标为 (﹣ , )；
(iii )当AA′为对角线时 ,有 ,
解得： ,
,﹣2 )．
∴点P的坐标为 (﹣
综上所述：平面内存在点P ,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形 ,点P的坐标为 (2
, )、 (﹣
,
)和 (﹣
,﹣2 )．
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【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质 ,解题的关键是： (1 )根据点的坐标 ,利用待定系数法求出二次函数解析式； (2 )将一次函数解析式代入二次函数解析式中求出x1、x2的值； (3 )①利用勾股定理 (两点间的距离公式 )求出AB、AA′、A′B的值；②分A′B为对角线、AB为对角线及AA′为对角线三种情况求出点P的坐标．
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