南京市2021届高三年级学情调研
数 学 2020.09
注意事项：
1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择
题（第9题~第12题）、填空题(第13题~第16题）、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分,考试时间为120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将
对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在
答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0｝，B＝｛x｜1＜x＜3 }，则A∩B＝
D．｛x|2＜x＜3｝
2．已知(3－4i）z＝1＋i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应
A．｛x|－1＜x＜3} B．｛x｜－1＜x＜1} C．｛x｜1＜x＜2｝
学必求其心得，业必贵于专精
的点位于 D．第四象限
3．已知向量a，b满足｜a｜＝1，|b|＝2，且|a＋b|＝错误!，则a与
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
b的夹角为
D．错误!
4．在平面直角坐标系xOy中,若点P(4错误!,0）到双曲线C：错误!－错误!
＝1的一条渐近线的距离为6,则双曲线C的离心率为 A．2
B．4 C．2 D．错误!
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c．若2bcosC≤2a－c,则角B的取值范围是 D．[错误!，π）
6．设a＝log4 9，b＝2－1。2,c＝(错误!)－错误!,则 D．c＞a＞b
A．错误! B．错误! C．错误!
A．(0,错误!] B．(0，错误!] C．［错误!，π)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b
7．在平面直角坐标系xOy中,已知圆A:(x－1)2＋y2＝1，点B(3，0），
过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝错误!PB，则动点P的轨迹方程为
A．x2＋y2－14x＋18＝0 ＋18＝0
B．x2＋y2＋14x＋18＝0
C．x2＋y2－10x＋18＝0 D．x2＋y2＋10x学必求其心得，业必贵于专精
8．已知奇函数f (x）的定义域为R,且f (1＋x)＝f (1－x)．若当x∈（0，
1]时，f（x）＝log2（2x＋3)，则f （错误!)的值是
A．－3 B．－2 C．2 D．3
二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题
给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．
9．5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服
务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展,创造出更多的经济增加值．如图,某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出做出预测．
由上图提供的信息可知
A．运营商的经济产出逐年增加
B．设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓
C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 10．将函数f(x）＝sin2x的图象向左平移错误!个单位后，得到函数y学必求其心得，业必贵于专精
＝g（x）的图象，则
A．函数g（x）的图象关于直线x＝错误!对称 B．函数g（x）的图象关于点（错误!，0)对称
C．函数g(x)在区间(－错误!，－错误!）上单调递增 D．函数g（x)在区间(0，错误!）上有2个零点
5＝a0＋a1x＋a2x错误!＋a3x错误!＋a4x错误!＋a5x错误!11．已知（2＋x)（1－2x）＋a6x错误!，则
A．a0的值为2 B．a5的值为16 C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5 D．a1＋a3＋a5的值为120
12．记函数f(x）与g（x）的定义域的交集为I．若存在x0∈I,使得
对任意x∈I,不等式
[f(x）－g（x）]（x－x0）≥0恒成立，则称（f（x），g（x))构成“M函数对”．下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有（ ）
A．f（x)＝lnx，g（x）＝错误! B．f(x）＝ex,g（x）＝ex
C．f（x）＝x3，g（x)＝x2 D．f(x)＝x＋错误!，
g(x）＝3错误!
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入
r一个半径为r的实心铁球（小球完全浸入水中）,水面高度恰好 3r 学必求其心得，业必贵于专精
升高错误!，则错误!＝ ▲ ．
14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287－前212），是古
希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积,等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝4与抛物线C：y＝错误!x2交于A，B两点，则弦AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为 ▲ ．
15．已知数列{an｝的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Sn＝anan＊
，n∈N，则a4＝ ▲ ； 若a1＝2，则S20＝ ▲ ．（本＋1
题第一空2分，第二空3分）
16．若不等式（ax2＋bx＋1)ex≤1对一切x∈R恒成立,其中a，b∈R，
e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是 ▲ ．
四、解答题：本大题共6小题,共70分．请在答题卡指定区域内作
答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知向量m＝（2cosx，－1），n＝(3sinx，2cos2x)，x∈R．设函数f(x）＝m·n＋1．
（1)求函数f(x）的最小正周期;
学必求其心得，业必贵于专精
（2）若α∈[错误!，错误!]，且f（α)＝错误!，求cos2α的值．
18．（本小题满分12分)
已知数列{an}是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn．
(1）在①S1＋S3＝2S2＋2,②S3＝错误!,③a2a3＝4a4这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列｛an}的通项公式，并判断此时数列{an}是否满足条件P：任意m，n∈N*,aman均为数列｛an}中的项，说明理由；
(2）设数列｛bn}满足bn＝n（错误!）n－1，n∈N*，求数列｛bn}的
前n项和Tn．
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答
计分．
19．（本小题满分12分）
为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生(男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间）,结果如下:
是否达标 不达标 达标 学必求其心得，业必贵于专精
性别 男生 女生 36 10 24 30 （1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？
附：χ2＝错误! ,
P(χ2（2)如果
0.00.020.010.000.005 0 5 5 9 1 828 女生课外阅读
率分别代替该
3.85。6.637.8710。用这100名学41 024 ≥k) 50 生生中男生和“达标”的频
k 校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量
X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期
望．
20．（本小题满分12分）
如图,在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，
AD//BC，AB＝BC＝PA＝1,
AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝λCP．
（1)求证:CD⊥AE；
P E θ， （2)记二面角C－AE－D的平面角为A D
学必求其心得，业必贵于专精
且｜cosθ|＝错误!,求实数λ的值．
21．(本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1．
4 (1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2,T是椭圆C上的一个动点，求错误!·错误!的取值范围；
（2）设A(0，－1),与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D．．．两点．若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．
x2
22．（本小题满分12分）
已知函数f (x）＝kx－xlnx，k∈R．
学必求其心得，业必贵于专精
（1）当k＝2时，求函数f （x）的单调区间；
（2）当0＜x≤1时,f （x）≤k恒成立，求k的取值范围； （3)设n∈N*，求证：错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!．
南京市 2021届高三年级学情调研测试数学试卷
考点扫描
一、单项选择题：
题号 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 考点 集合的运算（交集） 复数的运算 平面向量的数量积运算 圆锥曲线的几何性质（离心率） 解三角形(正余弦定理） 所属章节/模块 集合 复数 平面向量 圆锥曲线 解三角形 学必求其心得，业必贵于专精
第6题 第7题 第8题
指数、对数比较大小 动点的轨迹方程（直线与圆） 函数的基本性质(奇偶性、周期性、对称性） 指数函数、对数函数 解析几何 函数的概念与性质 整体分析：1-6题较为基础;第7题需要掌握切线长的转换,进而表示PA与PB的表达式，通过设P点求出轨迹方程;第8题需要利用已知条件中的关系式（关于直线x=1对称）、奇函数得出周期,进而求出对应区间的函数值。单项选择题基本上都是考查基础，难度较低或中等偏下一些,需要平时多多注重基础的扎实度，拿到满分比较容易。
二、多项选择题: 题号 第9题 第10题 第11题 第12题 考点 统计图的信息 单调性、零点 二项式定理中项的系数 新定义函数 所属章节/模块 统计 像与性质 二项式定理 函数的概念与性质 三角函数的对称轴、对称中心、三角函数的图整体分析：9—11题考查较为基础，难度较低，但要注意所学知识的全面性，不能有漏洞,另外，多选题更需要策略和方法。12题要
学必求其心得，业必贵于专精
注意理解新定义的概念，并运用函数的性质验证即可,难度一般，但是容易失分或少得分。
三、填空题：
题号 第13题 考点 圆柱体与球的体积 所属章节/模块 几何体的体积 圆锥曲线、导第14题 文化题(抛物线的切线、面积） 数的几何意义 第15题 第16题
数列的项、求和 含参函数的恒成立问题 数列求和 函数与导数 整体分析：13题较为基础,主要考查几何体的体积运算；14题考查文化题题型，需要理解阿基米德三角形或定理的运算，然后应用到抛物线求解切线方程以及直线构成的三角形的面积，当然千万不要忘记最后的三分之二,难度一般，此题为新题型：文化题,需要注意训练；15题考查数列的性质及求和，该数列较为容易递推出来奇数项和偶数项都是隔项成等差数列，而且奇数项和偶数项一样，进而求出第4项和求和，难度适中,此题为新题型:双空题,需要注意训练;16题考查多参数的函数恒成立问题，需要分类进行讨论,分析求导并判断单调性得出答案，难度中等偏上,一般情况下不一定能做出
学必求其心得，业必贵于专精
来。
四、解答题:
题号 考点 平面向量数量积坐标公式、所属章节/模块 平面向量、三角函数 数列 第17题 三角函数的图像与性质、三角恒等变换求三角函数值 数列求通项公式、错位相减求和 分布列、期望 二面角问题 椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系综合 函数的单调性、恒成立问题、推理与证明 第18题 第19题 第20题 第21题 第22题
线性回归分析、随机变量的统计案例、概率统计 间向量 圆锥曲线 函数与导数 立体几何证明平行与垂直、立体几何、空整体分析：17题考查平面向量数量积坐标公式、三角函数的图像与性质、三角恒等变换求三角函数值等,难度较小，需要拿到满分；18题考查数列的通项公式、错位相减法求和，此题为新题型：开放性试题，平时需要注意训练；19题考查线性回归分析、随机变量的概
学必求其心得，业必贵于专精
率、期望、分布列等，难度不大,较为基础，需要注意计算正确；20题考查立体几何证明平行与垂直、利用二面角的余弦值求实数，需要利用空间向量建立空间直角坐标系解题，难度不大，同样需要注意求解面的法向量时的计算；21题考查圆锥曲线综合，整体来说，第一问考查较为新颖，而不是老套的求解标准方程,第二问考查较为经典：中点弦、向量垂直等关系,需要设出直线方程，利用垂直求得关系式得出结果，注意不要忘记检验二次函数的判别式是否满足题意，难度中等,也许拿到满分不是那么容易;21题考查导数与函数综合应用，第一问,较为简单，求函数的单调区间；第二问，考查含参函数的恒成立问题，需要分类讨论,最好是构造新函数解决，较为清晰化，难度中等；第三问，利用第二问的一般性结论证明不等式，并合理利用函数性质建立不等关系，证明结果，难度较大。
南京市2021届高三年级学情调研全解析 数 学 2020.09
注意事项：
1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择
学必求其心得，业必贵于专精
题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．
3．作答选择题时，选出每小题的答案后,用2B铅笔在答题卡上将对
应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在
答题卡各题目指定区域内,在其他位置作答一律无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|1＜x＜3 ｝，则A∩B＝
A．｛x｜－1＜x＜3｝ B．｛x|－1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3｝
解析：集合A＝｛x｜x2－x－2＜0｝={x｜—1〈x〈2}，A∩B＝｛x|1＜x＜2} ，答案选C。
2．已知（3－4i)z＝1＋i,其中i为虚数单位,则在复平面内z对应的点位于
D．第四象限
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
学必求其心得，业必贵于专精
解析：z=1i34i1i34i17i，z对应的点位于第二象限,答案选B。 34i34i253．已知向量a，b满足|a｜＝1,|b|＝2，且|a＋b|＝错误!，则a与b的夹角为
π
A． B．错误! C．错误!
6D．错误!
解析：|a＋b｜2=|a｜2+2a·b+|b|2＝5+4cos
12cos，0，，所以23=3，解得
，答案选D.
4．在平面直角坐标系xOy中，若点P(4错误!，0)到双曲线C:错误!－错误!
＝1的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为 A．2
B．4 C．错误! D．错误!
x2
解析：双曲线C：2－错误!＝1的一条渐进线方程为3x±ay=0,则点Pa到该渐进线方程的距离为d心率为eca433a2326，解得
a2=3,所以椭圆的离
392，故答案选3A.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2bcosC≤2a－c，则角B的取值范围是 D．[错误!，π) 解析：因为
a2b2c22bcosC≤2a－c，所以由余弦定理可得2b2abA．（0，错误!］ B．（0，错误!］ C．[错误!，π)
≤2a－
B0，,则B0，,答案选A. c,化简得ac≤a2+c2－b2，即cosB1，因为23学必求其心得，业必贵于专精
6．设a＝log4 9，b＝2－1.2,c＝(错误!）－错误!，则 D．c＞a＞b
解析：由题意b＝2－1.2<2=1，a＝log4 9=log2 3=log2
0A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b
9＞log2223,2c＝
(错误!)－错误!＝3，所以a＞c＞b，答案选C.
22
7．在平面直角坐标系xOy中,已知圆A:(x－1）＋y2＝1,点B（3，0），
过动点P引圆A的切线,切点为T．若PT＝错误!PB,则动点P的轨迹方程为
A．x2＋y2－14x＋18＝0 ＋18＝0
解析：根据切线长的求解方法得到PT=C.
8．已知奇函数f (x）的定义域为R，且f （1＋x）＝f (1－x)．若当
PA21=B．x2＋y2＋14x＋18＝0
C．x2＋y2－10x＋18＝0 D．x2＋y2＋10x2PB，即PA12PB2，
2设点P(x,y)，代入到公式中化简得，x2＋y2－10x＋18＝0，答案选
x∈(0，1]时，f（x)＝log2(2x＋3），则f （错误!)的值是
A．－3 B．－2 C．2 D．3
解析:由题意f （1＋x）＝f (1－x）可得函数关于直线x=1对称,则
有f （2＋x）＝f （－x) ,且f (x)为奇函数，则f （2＋x）＝f （－
x）＝－f （x），f (4＋x）＝－f （2＋x）＝f (x），即周期为4,
511所以f （错误!)＝fff2,答案选B。
222二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．在每小
学必求其心得，业必贵于专精
题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分,部分选对得3分，不选或有错选的得0分．
9．5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服
务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展,创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出做出预测．
由上图提供的信息可知
A．运营商的经济产出逐年增加
B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
解析：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中并非一直处于领
先地位，很明显C选项不正确，答案选ABD.
10．将函数f(x）＝sin2x的图象向左平移错误!个单位后，得到函数y＝g(x）的图象,则
π
A．函数g（x)的图象关于直线x＝对称 B．函数g（x)
12
学必求其心得，业必贵于专精
的图象关于点（错误!，0)对称
C．函数g（x)在区间(－错误!，－错误!）上单调递增 D．函数g(x）在区间（0，错误!)上有2个零点
解析：由题意可知y＝g(x)＝sin2x，可验证g(错误!)＝1，所以A选
3项正确；g(错误!)≠0，所以B选项错误；令2x,解得5x，
2321212所以C选项正确；法一：可通过五点作图法画出图像验证D选项；法二:可令2x3k，解得xk5，kZ，在区间（0,错误!）上有，2636满
足题意,为两个零点，所以D选项正确，答案选ACD.
5＝a0＋a1x＋a2x错误!＋a3x错误!＋a4x错误!＋a5x错误!＋11．已知(2＋x)(1－2x）
a6x错误!，则
A．a0的值为2 B．a5的值为16 C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5 D．a1＋a3＋a5的值为120
解析：由题意可令x=0，解得a0=2，所以A选项正确；a5＝
422C55264，所以C545B选项正确；令x=1,解得a0＋a1＋a2＋
a3＋a4＋a5＋a6=－3，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6=－5，所以C
选项正确；令x=－1，解得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6=（a0＋a2＋a4＋a6）－(a1＋a3＋a5）=243,式子间进行联立,可解得a1＋a3＋
a5=－123，所以D选项错误,答案选ABC.
12．记函数f（x)与g（x)的定义域的交集为I．若存在x0∈I，使得
对任意x∈I，不等式
[f（x)－g(x）]（x－x0）≥0恒成立，则称（f（x)，g(x）)构成“M函数对\"．下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有( ）
学必求其心得，业必贵于专精
A．f（x)＝lnx，g（x)＝错误! B．f(x)＝ex，g(x)＝ex
C．f（x）＝x3，g（x）＝x2 D．f（x）＝x＋错误!,g（x）＝3错误!
解析：由题意［f（x)－g（x)］(x－x0)≥0恒成立，可知当xx时，
0f(x）≤g(x),当xx时，f（x）≥g（x），则可根据图象验证选项，只
0有AC选项符合,故答案选AC。
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入
r)，水面高度恰好 一个半径为r的实心铁球（小球完全浸入水中 3升高错误!，则错误!＝ ▲ ．
r 答案：2
解析：由题意可列出体积公式为：R2r43r，解得错误!＝2. 3314．被誉为“数学之神”之称的阿基米德(前287－前212），是古希
腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理,其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝4与抛物线C：y＝错误!x2交于A，B两点，则弦
AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为 ▲ ．
学必求其心得，业必贵于专精
答案：错误!
解析：由题意可求出A，B点的坐标分别为A(－4,4)，B(4，4),且求
得在A,B两点的切线方程分别为:y＝－2x－4，y＝2x－4,两直线交点为(0，－4)，则弦AB与两切线构成的三角形的面积为
188，则弦2126488. 233AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为
15．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Sn＝anan＊，n∈N，则a4＝ ▲ ； 若a1＝2,则S20＝ ▲ ．（本＋1
题第一空2分,第二空3分）
答案:4；220
解析:由2Sn＝anan＋1可得2Sn＋1＝an＋1an＋2,两式相减得2an＋1＝an＋1（an＋2
－an)，由数列｛an｝的各项均为正数，可得到an＋2－an＝2，
令n=1，则有2S1＝2a1＝a1a2,解得a2＝2，所以a4＝4；若a1＝2，则a3＝4，即奇数列与偶数列均为首项为2，公差为2的等差数
109列，可求得S20＝22＝220. 102216．若不等式(ax2＋bx＋1)ex≤1对一切x∈R恒成立，其中a，b∈R，
e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是 ▲ ．
答案：（－∞,－1]
解析：可设f（x)=（ax2＋bx＋1)ex，可知f(0）=1，又由一切x∈R
时，（ax2＋bx＋1）ex≤1恒成立,则得到0为函数f(x)取得最大值的点，也是极大值点，则由f′（x）=[ax2＋(2a+b）x＋b＋1]ex，
f′（0)=b＋1=0，解得b=－1，所以f(x)=（ax2－x＋1）ex,f′(x）
0上单=[ax＋2a－1］xex，所以①当a=0时,可得到f（x）在，学必求其心得，业必贵于专精
调递增,在0，，满足题意；②当上单调递减，可得f（x)≤f(0）
12a12aa〈0时，f(x）在，0上单调递增,在，上单调递减,在aa1-2a时，ax2－x＋1<0,则f(x)=（ax2＋0，上单调递减，且在xabx＋1）ex<1,则可得f（x）≤f(0)，满足题意；综上,a≤0，b=
－1，则a＋b∈（－∞，－1］
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内
作答，解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知向量m＝(2cosx，－1),n＝（错误!sinx，2cos2x)，x∈R．设函数f（x）＝m·n＋1．
（1）求函数f(x)的最小正周期;
（2）若α∈［错误!，错误!]，且f(α)＝错误!,求cos2α的值． 解析：因为 m＝(2cosx，－1），n＝（错误!sinx，2cos2x）,
所以f（x）＝m·n＋1＝2错误!sinxcosx－2cos2x＋1
＝
错误!
错误!
sin2x－＝
cos2x＝2sin（2x－＝
)． ……………………… 4分
1)T错误!
（分
π． ……………………… 5（2）由f(α)＝错误!,得sin（2α－错误!）＝错误!．
由α∈[错误!，错误!］,得错误!≤2α－错误!≤π，
学必求其心得，业必贵于专精
所以cos（2α－错误!)＝－错误!＝－错误!＝－错误!,……………… 7分 从而 cos2α＝cos[(2α－错误!)＋错误!]＝cos（2α－错误!）cos错误!－sin(2α－错误!)sin错误!
＝
错误!
－
错误!
×
错误!
－
错误!
×
错误!
＝
． …………………… 10分
已知数列｛an}是公比为2的等比数列,其前n项和为Sn．
18．（本小题满分12分)
（1）在①S1＋S3＝2S2＋2，②S3＝错误!,③a2a3＝4a4这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列｛an}的通项公式，并判断此时数列{an｝是否满足条件P：任意m，n∈N＊，aman均为数列{an}中的项，说明理由；
（2）设数列{bn}满足bn＝n(错误!)n－1，n∈N＊，求数列｛bn｝的
前n项和Tn．
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答
计分．
解析：（1）选①，
因为S1＋S3＝2S2＋2，
所以S3－S2＝S2－S1＋2,即a3＝a2＋2， 又数列{an｝是公比为2的等比数列,
所以4a1＝2a1＋2，解得a1＝1,
因
1
此
an＝1×2n－1
＝2n－
． …………………………………… 4分
此时任意m，n∈N＊，aman＝2m－1·2n－1＝2m＋n－2，
由于m＋n－1∈N*，所以aman是数列｛an}的第m＋n－1项，
学必求其心得，业必贵于专精
因此数列｛
an｝满足条件
P． ……………………………………7分
选②，
因为S3＝错误!，即a1＋a2＋a3＝错误!， 又数列{an}是公比为2的等比数列，
所以a1＋2a1＋4a1＝错误!,解得a1＝错误!, 因
1
此… 4分
an＝
错误!
×2n－
． ………………………………
此时a1a2＝错误!＜a1≤an，即a1a2不为数列{an}中的项， 因 选③,
因为a2a3＝4a4,
又数列{an}是公比为2的等比数列，
所以2a1×4a1＝4×8a1,又a1≠0，故a1＝4， 因
1
此数列｛
an｝不满足条件
P． ………………………………… 7分
此分
an＝4×2n－1
＝2n＋
． …………………………………4
此时任意m，n∈N*，aman＝2m＋1·2n＋1＝2m＋n＋2,
由于m＋n＋1∈N*，所以aman是为数列{an}的第m＋n＋1项, 因
此分
数
列
｛
an}
满足条件
P． ……………………………………7
学必求其心得，业必贵于专精
（2）因为数列{an｝是公比为2的等比数列，
所以错误!＝2，因此bn＝n×2n－1．
所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2错误!，
则2Tn＝ 1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2错误!＋n×2错误!， 两式相减得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2
错误!
………………………10分
＝错误!－n×2错误!
＝（1－n)2n－1， 所
以
Tn＝（n－1)2
错误!
＋
1． ……………………………………12分 19．（本小题满分12分）
为调查某校学生的课外阅读情况,随机抽取了该校100名学生（男生60人,女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间)，结果如下：
是否达标 (1）是否有99％
性别 男生 女生 36 10 24 30 不达标 达标 的把握认为课外阅 ，
读达标与性别有关?
附：χ＝
2
错误!
P（χ20。0.020.010。0.00050 5 0 005 1 ≥k) 学必求其心得，业必贵于专精
k 3。5.026.637.8710.8841 4 5 9 28 (2）如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女)，设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数\试求X的分布列和数学期望．
解析：（1)假设H0:课外阅读达标与性别无关，根据列联表,求得
χ2＝错误!＝错误!≈11.836＞6。635，
因为当H0成立时，χ2≥6。635的概率约为0.01，
所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． …………………… 4分
（2）记事件A为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；
事件B为:从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标． 由题意知：P（A）＝
错误!
错误!
＝
错误!
,P(B）＝
错误!
＝
． ……………………… 6分 随机变量X的取值可能为0，1，2，3．
P(X＝0)＝(1－错误!）2×（1－错误!）＝错误!，
P（X＝1)＝C错误!×错误!×(1－错误!）×(1－错误!）＋错误!×（1－错误!）
2
＝错误!，
P(X＝2）＝(错误!）2×（1－错误!）＋C错误!×错误!×(1－错误!)×错误!
＝错误!，
P(X＝3)＝（错误!）2×错误!＝错误!．
学必求其心得，业必贵于专精
所以随机变量X的分布列为：
X P 0 错误! 1 错误! 2 2 53 错误! ………………………… 10分
期望E(X)＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!
＝
分
20．（本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD，
1
。
55． ………………………… 12
AD//BC，AB＝BC＝PA＝1，
AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝λCP．
（1）求证：CD⊥AE；
P
E θ, (2）记二面角C－AE－D的平面角为A 且|cosθ|＝错误!，求实数λ的值．
B
C
D
解析:（1）证明:因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
PA平面PAD，
所
以
PA⊥平面
ABCD． ………………………… 2分
学必求其心得，业必贵于专精
又CD90°，
平面ABCD，所以CD⊥PA．
在四边形ABCD中,AD//BC，∠DAB＝90°，所以∠ABC＝又AB＝BC＝1,所以△ABC是等腰直角三角形，即∠BAC＝∠CAD＝45°，AC＝错误!．
在△CAD中，∠CAD＝45°，AC＝错误!，AD＝2， 所以CD＝错误!＝错误!，从而AC2＋CD2＝4＝AD2． 所……… 4分
又AC∩PA＝A，AC，PA 又
平面PAC,所以CD⊥平面PAC． 面
以
CD⊥AC． …………………
AE平PAC，所以
CD⊥AE． ………………………… 6分
（2）解:因为PA⊥平面ABCD，BA⊥AD,
故以｛错误!,错误!，错误!｝为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB＝BC＝PA＝1，AD＝2， 所以 A（0，0,0),P(0,0，1）,
C(1,1，0)，D（0，2，0)，
则错误!＝（－1，1，0），错误!＝（0，2，0）． 因为点E在棱PC上,且CE＝λCP， →＝λ错误!, 所以CE设E（x，y，z)，则（x－1,y－1，z)＝λ(－1，－1，1），
学必求其心得，业必贵于专精
故E(1－λ，1－λ，λ)，所以错误!＝(1－λ，1－λ，λ）．
由（1)知,CD⊥平面PAC，所以平面ACE的一个法向量为n＝错误!
＝（－1,1，0）．
设平面AED的法向量为m＝（x1，y1，z1)， 由错误!得错误!
令z1＝1－λ，所以平面AED的一个法向量为m＝(－λ，0，1－λ）．
………
………………… 9分
因此 ｜cosθ｜＝｜cos 错误! 时，实数λ的值为 ． ………………………… 12分 2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误＋!y＝1． 21．（本小题满分12分） （1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，T是椭圆C上的一个动点，求错误!·错误!的取值范围； (2）设A(0，－1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D．．．两点．若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程． 2 解析：（1)因为椭圆C：错误＋!y＝1,所以F1（－错误!，0)，F2(错误!，0）． 设T(x0，y0），则 错误!·错误!＝(－错误!－x0,－y0）·（错误!－x0，－ 学必求其心得，业必贵于专精 y0)＝x02＋y02－3． 2 因为点T（x0,y0）在椭圆C上，即错误＋!y0＝1，所以错误!·错误!＝2 错误!0 x－2，且x02∈［0，4], 所 以 错误! · 错误! 的取值范围是［－ 2,1］． ………………………… 4分 （2）因为直线l与坐标轴不垂直，故设直线l方程y＝kx＋m (m≠－1,k≠0）． 设B（x1,y1）,Ｄ(x2,y2）． 由错误!得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 所 错误! 以 x1 ＋ x2 ＝－ 错误! ,x1x2 ＝ ． ………………………… 6分 因为△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形,所以 AB⊥AD，即 错误!·错误!＝0, 因此 (y1＋1)( y2＋1）＋x1x2＝0，即(kx1＋m＋1）（ kx2＋m＋1)＋x1x2＝0， 从而 (1＋k2） x1x2＋k（m＋1)( x1＋x2)＋（m＋1)2＝0， 即 （1＋k2)×错误!－k（m＋1)×错误!＋（m＋1)2＝0， 也即 4（1＋k2)（ m－1)－8k2m＋（1＋4k2） (m＋1）＝0， 解 错误! 得m＝ ． ………………………… 又线段BD的中点M（－错误!，错误!)，且AM⊥BD， 所以错误!＝－错误!，即3m＝1＋4k2，解得k＝±错误!． 又当k＝±错误!，m＝错误!时，△＝64k2m2－4（1＋4k2)（ 4m2－ 9分 学必求其心得，业必贵于专精 4)＝错误!＞0， 所以满足条件的直线l的方程为y＝± 错误! 错误! x＋ . ……………………… 12分 已知函数f (x)＝kx－xlnx，k∈R． （1）当k＝2时,求函数f (x)的单调区间； （2）当0＜x≤1时,f (x)≤k恒成立，求k的取值范围； ln1 （3）设n∈N，求证：＋错误!＋…＋错误!≤错误!． 2 ＊ 22．（本小题满分12分) 解析：(1）当k＝2时，f (x)＝2x－xlnx,f′（x)＝1－lnx， 由f′(x）＞0,解得0＜x＜e；由f′（x）＜0，解得x＞e, 因此函数f （x）单调递增区间为(0,e），单调递减区间为(e，＋∞）．……… 2分 （2）f （x)＝kx－xlnx，故f′(x)＝k－1－lnx． 当k≥1时，因为0＜x≤1，所以k－1≥0≥lnx， 因此f′（x）≥0恒成立，即f （x)在(0，1]上单调递增, 所 以 f (x)≤f （1)＝k恒成 立． …………………………… 4分 当k＜1时，令f′（x)＝0，解得x＝ek－1∈（0，1）． 当x∈（0，ek－1），f′(x）＞0，f (x)单调递增；当x∈（ek－1，1），f′（x)＜0，f （x）单调递减； 于是f (ek－1)＞f (1）＝k,与f (x）≤k恒成立相矛盾． 综 上 ,k的 取 值 范 围 为 [1, ＋ ∞）． …………………………… 7分 学必求其心得，业必贵于专精 (3）由（2)知，当0＜x≤1时，x－xlnx≤1． 令x＝错误!(n∈N＊）,则 错误!＋错误!lnn≤1,即2lnn≤n2－1， 因 错误! 此 错误! ≤ ． ……………………………………10分 错误! ln1 所以＋ 2 ＋…＋ 错误! ≤ 错误! ＋ 错误! ＋…＋ 错误! ＝ 错误!． …………………12分 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容