高中数学公式概念

（1）常用数集及其记法

N表示自然数集，N

或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.

（2）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，它有2n2非

空真子集.

（3）含绝对值的不等式的解法

不等式 解集 |x|a(a0) {x|axa} |x|a(a0) x|xa或xa} 把axb看成一个整体，化成|x|a，|axb|c,|axb|c(c0) |x|a(a0)型不等式来求解 （1）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①f(x)是整式时，定义域是全体实数．

②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③

f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤

ytanx中，xk2(kZ)．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若

f(x)是由基本初等函数的四则运算合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由

不等式ag(x)b解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．

【1.3.1】单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性

①定义及判定方法

函数的 性 质 定义 图象 判定方法 如果对于属于定义域I内某yy=f(X)（1）利用定义 个区间上的任意两个自变量（2）利用已知函数的的值xf(x )21、x2,当x．1．< x．．2．时，都单调性 有f(x．．．1．)f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． ox1x2x个区间图象下降为减） ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数

yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)，遵寻同增异减．

【1.3.2】奇偶性

4）函数的奇偶性

①定义及判定方法

函数的 性 质 定义 图象 判定方法 如果对于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有．f(．－．x)=．．．－．判断定义域是否关于f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．原点对称） 数．． （2）利用图象（图象函数的 关于原点对称） 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有．f(．－．x)=．．．f(x)．．．．,判断定义域是否关于那么函数f(x)叫做偶函数．．．． 原点对称） （2）利用图象（图象 关于y轴对称） ②若函数

f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．

③奇函数在

y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

〖补充知识〗函数的图象

1）作图

（

（利用描点法作图：

①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换

yf(x)h0,左移h个单位h0,右移|h|个单位yf(xh)yf(x)k0,上移k个单位k0,下移|k|个单位yf(x)k

②伸缩变换

yf(x)01,伸1,缩yf(x)

yf(x)0A1,缩A1,伸yAf(x)

③对称变换

yf(x)x轴yf(x) yf(x)y轴yf(x)

yf(x)原点yf(x) yf(x)直线yxyf1(x)

yf(x)去掉y轴左边图象保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象yf(|x|)

yf(x)保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y|f(x)|

2）识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． 3）用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果

的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根

用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

②式子

na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，

a0．

③根式的性质：(na)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时， nan|a|a (a0)a (a0) ． （2）分数指数幂的概念

m①正数的正分数指数幂的意义是：annam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂等于0．

m②正数的负分数指数幂的意义是：a n(1ma)nn(1a)m(a0,m,nN,且n1)．0的负分数指数

幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质

①arasars(a0,r,sR) ②(ar)sars(a0,r,sR)

③(ab)rarbr(a0,b0,rR)

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

函数名称 指数函数 定义 函数yax(a0且a1)叫做指数函数 a1 0a1 y yaxyaxy 图象 y1 y1 (0,1) (0,1) O xOx定义域 R 值域 (0,) 过定点 图象过定点(0,1)，即当x0时，y1． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 （（

ax1(x0)ax1(x0)函数值的 x变化情况 a1(x0) ax1(x0) ax1(x0)ax1(x0)a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

1）对数的定义 ①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．

2）几个重要的对数恒等式

loga10，logaa1，logaabb．

3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828„）

． 4）对数的运算性质 如果a0,a1,M0,N0，那么

①加法：loglogMaMlogaNa(MN) ②减法：logaMlogaNlogaN

③数乘：nlogaMlogaMn(nR) ④alogaNN

⑤logMnnabblogb0,nR) ⑥换底公式：logNlogbNaM(alog(b0,且b1) ba【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

函数 名称 对数函数 定义 函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数 图象 a1 0a1 yx 1ylogx axy1 ylogax (1,0) O(1,0) xO x 定义域 (0,) 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当x1时，y0． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数 logax0(x1)logax0(x1)函数值的 变化情况 logax0(x1) logax0(x1) logax0(0x1)logax0(0x1)a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． (6)反函数的概念

设函数

yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在

C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的

函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(x)中反解出xf1(y)；

③将xf1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

8）反函数的性质

①原函数

yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

②函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．

（

（（（

（

③若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．

④一般地，函数

yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义 一般地，函数

yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．

（2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qp（其中p,q互质，p和qZ），qq若

p为奇数q为奇数时，则yxp是奇函数，若

p为奇数q为偶数时，则yxp是偶函数，若

p为偶数q为奇数

q时，则

yxp是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图

象在直线

yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方．

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数

yf(x)(xD)，把使

f(x)0成立的实数

x叫做函数

yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴

交点的横坐标。即： 方程

f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

3、二次函数的零点：

二次函数yax2bxc(a0)．

１）△＞０，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零

点．

２）△＝０，方程ax2bxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数

有一个二重零点或二阶零点．