一．选择题（共10小题）
1．在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（ ） A．0
B．1
C．
D．﹣1
2．移动互联网已经全面进入人们的日常生活，截止2015年3月，全国4G用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为（ ） A．1.62×10
4
B．1.62×10
6
C．1.62×10
8
D．0.162×10
9
3．如图，直线a∥b，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3等于（ ）
A．40°
B．60°
C．80°
D．100°
4．某中学初三（1）班的8名同学在一次排球垫球测试中的成绩如下：（单位：个） 35，38，42，44，40，47，45，45 则这组数据的中位数是（ ） A．44
B．43
C．42
D．40
5．如图，点A、B、C是⊙O上的点，OA＝AB，则∠C的度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．30°或60°
6．某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
7．已知A（x1，y1）是一次函数y＝﹣x+b+1图象上一点，若x1＜0，y1＜0，则b的取值范围是（ ）
A．b＜0 B．b＞0 C．b＞﹣1 D．b＜﹣1
8．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD＝20m，高度DC＝30m则信号发射塔顶端到地面的高度（即FG的长）为（ ）
A．（35
+55）m
B．（25
+45）m
C．（25
+75）m
D．（50+20
）m
9．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数
的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（ ）
A．1
B．﹣3
C．4
D．1或﹣3
10．边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A'、D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，CF的值为（ ）
A．4﹣2
B．2
﹣2
C．
﹣1
D．
二．填空题（共8小题）
11．分解因式：a﹣4b＝ ．
2
2
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．小华用剪刀沿DE剪去∠A，得到一个四边形．则∠1+∠2＝ 度．
14．某学校“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每个学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为 名．
15．一个扇形的圆心角为60°半径为6cm，则这个扇形的弧长为 cm．（结果保留π） 16．当x＝1时，代数式ax+bx+1的值为5，则代数式4﹣a﹣b的值＝ ． 17．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠BAD＝60°，对角线AC平分∠BAD，且AB＝AC＝4，点E、F分别是AC、BC的中点，连接DE、EF、DF，则DF的长为 ．
3
18．如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线
OB长的最小值为 ．
三．解答题（共10小题）
19．计算：+（）﹣2019
﹣10
20．解不等式组：
21．先化简，再求值：﹣÷，其中x＝﹣3+2．
22．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面 （1）从中随机抽出一张牌，试求出牌面数字是偶数的概率；
（2）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．
23．为了提高农民抵御大病风险的能力，全国农村推行了新型农村合作医疗政策，农民只需每人每年交10元钱，就可以加入合作医疗．若农民患病住院治疗，出院后到新型农村合作医疗办公室按一定比例报销医疗费．小军与同学随机调查了他们镇的一些村民，根据收集到的数据绘制成了如图所示的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了多少村民被调查的村民中，有多少人参加合作医疗得到了报销款？ （2）若该镇有村民10000人，请你计算有多少人参加了合作医疗？要使两年后参加合作医疗的人数增加到9680人，假设这两年的年增长率相同，求这个年增长率．
24．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE＝AC． （1）求证：BE＝CF；
（2）若AD＝DC＝2，求AB的长．
25．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B（﹣2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点D（3﹣3n，1）是该反比例函数图象上一点． （1）求m的值；
（2）若∠DBC＝∠ABC，求一次函数y＝kx+b的表达式．
26．如图1，DE是⊙O的直径，点A、C是直径DE上方半圆上的两点，且AO⊥CO．连接AE，
CD相交于点F，点B是直径DE下方半圆上的任意一点，连接AB交CD于点G，连接CB交AE于点H．
（1）∠ABC＝ ； （2）证明：△CFH∽△CBG；
（3）若弧DB为半圆的三分之一，把∠AOC绕着点O旋转，使点C、O、B在一直线上时，如图2，求
的值．
27．在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标；
（3）现将△ABO、△BCD分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值．
28．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝于AB的对称点，连接AF、BF．
，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值． （3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△
ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（ ） A．0
B．1
C．
D．﹣1
【分析】根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可． 【解答】解：∵﹣1＜﹣＜0＜1， ∴最小的数是﹣1， 故选：D．
2．移动互联网已经全面进入人们的日常生活，截止2015年3月，全国4G用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为（ ） A．1.62×10
4
B．1.62×10
n6
C．1.62×10
8
D．0.162×10
9
【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1.62亿＝16200 0000＝1.62×10， 故选：C．
3．如图，直线a∥b，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3等于（ ）
8
A．40°
B．60°
C．80°
D．100°
【分析】根据对顶角相等和利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：如图：
∵∠4＝∠2＝40°，∠5＝∠1＝60°， ∴∠3＝180°﹣60°﹣40°＝80°， 故选：C．
4．某中学初三（1）班的8名同学在一次排球垫球测试中的成绩如下：（单位：个） 35，38，42，44，40，47，45，45 则这组数据的中位数是（ ） A．44
B．43
C．42
D．40
【分析】先将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的概念求解可得． 【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为35、38、40、42、44、45、45、47， 所以这组数据的中位数为故选：B．
5．如图，点A、B、C是⊙O上的点，OA＝AB，则∠C的度数为（ ）
＝43，
A．30°
B．45°
C．60°
D．30°或60°
【分析】先证明△OAB为等边三角形得到∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理求解． 【解答】解：∵OA＝OB＝AB， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°． 故选：A．
6．某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】用初一3班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案． 【解答】解：∵共有6名同学，初一3班有2人，
∴P（初一3班）＝＝， 故选：B．
7．已知A（x1，y1）是一次函数y＝﹣x+b+1图象上一点，若x1＜0，y1＜0，则b的取值范围是（ ） A．b＜0
B．b＞0
C．b＞﹣1
D．b＜﹣1
【分析】先根据题意判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+b+1中，k＝﹣1＜0， ∴函数图象经过二、四象限． ∵x1＜0，y1＜0，
∴函数图象经过第三象限， ∴b+1＜0，即b＜﹣1． 故选：D．
8．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD＝20m，高度DC＝30m则信号发射塔顶端到地面的高度（即FG的长）为（ ）
A．（35
+55）m
B．（25
+45）m
C．（25
+75）m
D．（50+20
）m
【分析】将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三角形的知识表示出线段CG的长，根据三角函数值求得CG的长，代入FG＝x•tanβ即可求得． 【解答】解：设CG＝xm，
由图可知：EF＝（x+20）•tan45°，FG＝x•tan60°， 则（x+20）tan45°+30＝xtan60°，
解得x＝＝25（+1）， +1）×
＝（75+25
）m．
则FG＝x•tan60°＝25（故选：C．
9．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数
的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（ ）
A．1
B．﹣3
C．4
D．1或﹣3
【分析】设C（x，y）．根据矩形的性质、点A的坐标分别求出B（﹣2，y）、D（x，﹣2）；根据“矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点”及相似三角形的性质求得xy＝4①，又点C在反比例函数
的图象上，所以将点C的坐标代入其中求得xy＝k+2k+1②；
2
联立①②解关于k的一元二次方程即可． 【解答】解：设C（x，y）．
∵四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（﹣2，﹣2）， ∴B（﹣2，y）、D（x，﹣2）；
∵矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点， ∴设直线BD的函数关系式为：y＝kx， ∵B（﹣2，y）、D（x，﹣2）， ∴k＝∴
＝，k＝
，
，即xy＝4；①
的图象上，
又∵点C在反比例函数∴xy＝k+2k+1，② 由①②，得
2
k+2k﹣3＝0，即（k﹣1）（k+3）＝0，
2
∴k＝1或k＝﹣3， 故选：D．
10．边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A'、D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，CF的值为（ ）
A．4﹣2
B．2
﹣2
C．
﹣1
D．
【分析】首先延长DC与A′D′交于点M，由四边形ABCD是菱形与折叠的性质，易求得
CB＝CM，△D′FM是含30°角的直角三角形，利用正切函数的知识，即可求得答案．
【解答】解：延长FC、A′D′交于M， 设CF＝x，FD＝2﹣x，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°， ∴AB∥CD，∠DCB＝∠A＝60°， ∴∠A+∠D＝180°， ∴∠D＝120°，
由折叠得：∠BD′F＝∠D＝120°， ∴∠FD′M＝180°﹣120°＝60°， ∵D′F⊥CD， ∴∠D′FC＝90°， ∴∠M＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△FOC中，∠DCB＝60°， ∵∠DCB＝∠CBM+∠M， ∴∠CBM＝60°﹣30°＝30°，
∵∠BCD＝∠CBM+∠M＝60°， ∴∠CBM＝∠M＝30°， ∴CB＝CM＝2，
由折叠得：D′F＝DF＝2﹣x， tanM＝tan30°＝∴x＝4﹣2∴CF＝4﹣2故选：A．
， ，
＝
＝
，
二．填空题（共8小题）
11．分解因式：a﹣4b＝ （a+2b）（a﹣2b） ．
【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a﹣b＝（a+b）（a﹣b）． 【解答】解：a﹣4b＝（a+2b）（a﹣2b）． 故答案为：（a+2b）（a﹣2b）． 12．函数y＝
中，自变量x的取值范围是 x≤且x≠0 ．
2
2
2
2
2
2
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可． 【解答】解：由题意得，2﹣3x≥0且x≠0， 解得，x≤且x≠0． 故答案为：x≤且x≠0．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．小华用剪刀沿DE剪去∠A，得到一个四边形．则∠1+∠2＝ 270 度．
【分析】先根据直角三角形的性质求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是
360度，即可求得∠1+∠2的值． 【解答】解：∵∠A＝90°， ∴∠B+∠C＝90°．
∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°． 故答案为：270．
14．某学校“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每个学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为 60 名．
【分析】设被调查的总人数是x人，根据最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，即可列方程求解．
【解答】解：设被调查的总人数是x人，则40%x﹣30%x＝6， 解得：x＝60． 故答案是：60．
15．一个扇形的圆心角为60°半径为6cm，则这个扇形的弧长为 2π cm．（结果保留π） 【分析】利用弧长公式是l＝【解答】解：弧长是：故答案为：2π．
16．当x＝1时，代数式ax+bx+1的值为5，则代数式4﹣a﹣b的值＝ 0 ． 【分析】先由已知条件列出方程，求得a+b的值，再整体代入求原式的值． 【解答】解：由题意得，a+b+1＝5， ∴a+b＝4， 当a+b＝4时， 原式＝4﹣（a+b） ＝4﹣4 ＝0．
3
，代入就可以求出弧长． ＝2πcm．
故答案为0．
17．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠BAD＝60°，对角线AC平分∠BAD，且AB＝AC＝4，点E、F分别是AC、BC的中点，连接DE、EF、DF，则DF的长为 2 ．
【分析】由∠BAD的度数结合角平分线的定理可得出∠BAC＝∠DAC＝30°，利用平行线的性质及三角形外角的性质可得出∠FEC＝30°、∠DEC＝60°，进而可得出∠FED＝90°，在Rt△DEF中利用勾股定理可求出DF的长． 【解答】解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝30°． ∵点E、F分别是AC、BC的中点， ∴EF∥AB，AE＝DE，
∴∠FEC＝∠BAC＝30°，∠DEC＝2∠DAC＝60°， ∴∠FED＝90°． ∵AC＝4， ∴DE＝EF＝2， ∴DF＝故答案为：2
＝．
＝2
，
18．如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线
OB长的最小值为 5 ．
【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于
点E．则OB＝．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四
边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当
BE最小时，OB取得最小值，从而可求．
【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图： ∵四边形OABC是平行四边形， ∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC， ∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴， ∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形， ∴∠MAN＝∠NCM， ∴∠OAF＝∠BCD， ∵∠OFA＝∠BDC＝90°， ∴∠FOA＝∠DBC， 在△OAF和△BCD中，
，
∴△OAF≌△BCD． ∴BD＝OF＝1， ∴OE＝4+1＝5， ∴OB＝
．
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5． 故答案为：5．
三．解答题（共10小题） 19．计算：
+（）﹣2019
﹣1
0
【分析】直接利用二次根式的性质以及负整指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+6﹣1 ＝8． 20．解不等式组：
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分． 【解答】解：解①得：x＞﹣1， 解②得：x≤6，
则不等式的解集为：﹣1＜x≤6． 21．先化简，再求值：
﹣
÷
，其中x＝﹣3+2
．
，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝＝＝﹣
﹣，
时，
﹣
•
当x＝﹣3+2原式＝﹣＝﹣
．
22．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面 （1）从中随机抽出一张牌，试求出牌面数字是偶数的概率；
（2）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【解答】解：（1）从中随机抽出一张牌，牌面所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现偶数的情况有2种， ∴P（牌面是偶数）＝＝；
（2）根据题意，画树状图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果：其中恰好是4的倍数的共有4种， ∴P（4的倍数）＝
＝．
23．为了提高农民抵御大病风险的能力，全国农村推行了新型农村合作医疗政策，农民只需每人每年交10元钱，就可以加入合作医疗．若农民患病住院治疗，出院后到新型农村合作医疗办公室按一定比例报销医疗费．小军与同学随机调查了他们镇的一些村民，根据收集到的数据绘制成了如图所示的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了多少村民被调查的村民中，有多少人参加合作医疗得到了报销款？ （2）若该镇有村民10000人，请你计算有多少人参加了合作医疗？要使两年后参加合作医疗的人数增加到9680人，假设这两年的年增长率相同，求这个年增长率．
【分析】（1）调查村民数＝参加合作医疗的人数+未参加合作医疗的人数得到了报销款人数＝参加合作医疗的人数×3%；
（2）全村参加合作医疗人数＝10000×参加合作医疗的百分率设年增长率为x，则8000（1+x）＝9680．
【解答】解：（1）400+100＝500（人）， 400×3%＝12（人）．
所以，本次共调查了500人，有12人参加合作医疗得到报销款．
（2）参加合作医疗的百分率为
，
2
所以该镇参加合作医疗的村民有10000×80%＝8000（人）． 设年增长率为x，由题意：得8000（1+x）＝9680， 解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去），即年增长率为10%．
24．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE＝AC． （1）求证：BE＝CF；
（2）若AD＝DC＝2，求AB的长．
2
【分析】（1）由题中可求得AE和AC所在的三角形全等，进而得到BG和FG所在三角形全等的条件；
（2）求得AF长即可求得AB长．利用等腰三角形的三线合一定理可得AF＝AC＝AE，进而求得一些角是30°，主要利用AD长，直角三角形勾股定理来求解． 【解答】（1）证明：连接AG， ∵∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F， ∴∠ABC＝∠AFE． 在△ABC和△AFE中，
，
∴△ABC≌△AFE（AAS）， ∴AB＝AF． ∵AE＝AC， ∴BE＝CF；
（2）解：∵AD＝DC，DF⊥AC， ∴F为AC中点， ∵AC＝AE， ∴AF＝AC＝AE． ∴∠E＝30°． ∵∠EAD＝90°， ∴∠ADE＝60°，
∴∠FAD＝∠E＝30°， ∴AF＝
．
．
∴AB＝AF＝
25．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B（﹣2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点D（3﹣3n，1）是该反比例函数图象上一点． （1）求m的值；
（2）若∠DBC＝∠ABC，求一次函数y＝kx+b的表达式．
【分析】（1）由点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数y＝（x＜0）的图象上可得﹣2n＝3﹣3n，即可得出答案；
（2）由（1）得出B、D的坐标，作DE⊥BC、延长DE交AB于点F，证△DBE≌△FBE得
DE＝FE＝4，即可知点F（2，1），再利用待定系数法求解可得．
【解答】解：（1）∵点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数y＝（x＜0）的图象上， ∴解得：
， ．
（2）由（1）知反比例函数解析式为y＝﹣， ∵n＝3，
∴点B（﹣2，3）、D（﹣6，1），
如图，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE交AB于点F，
在△DBE和△FBE中， ∵
，
∴△DBE≌△FBE（ASA）， ∴DE＝FE＝4， ∴点F（2，1），
将点B（﹣2，3）、F（2，1）代入y＝kx+b， ∴
，
解得：，
∴y＝﹣x+2．
26．如图1，DE是⊙O的直径，点A、C是直径DE上方半圆上的两点，且AO⊥CO．连接AE，
CD相交于点F，点B是直径DE下方半圆上的任意一点，连接AB交CD于点G，连接CB交AE于点H．
（1）∠ABC＝ 45° ； （2）证明：△CFH∽△CBG；
（3）若弧DB为半圆的三分之一，把∠AOC绕着点O旋转，使点C、O、B在一直线上时，如图2，求
的值．
【分析】（1）∠AOC＝90°，则∠ABC＝45°；
（2）如图1，∠CFH＝∠CDE+∠AED＝（180°﹣∠AOC）＝45°＝∠ABC，∠FCH＝∠GCB，即可求解；
（3）设HK＝EK＝x，则x+＝（
＝R，OH＝xtan∠HKO＝（2﹣
）R，则CH＝CO﹣OH＝．
﹣1）R，同理可得：FC＝R，由△CFH∽△CBG，则
【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°， ∴∠ABC＝45°， 故答案为45°
（2）如图1，∠CFH＝∠CDE+∠AED＝（180°﹣∠AOC）＝45°＝∠ABC， ∠FCH＝∠GCB，∴△CFH∽△CBG；
（3）设∠AOD为∠1，∠COE为∠2，∠OEA＝∠OAE＝α，圆的半径为R，
AO⊥CO，则∠1+∠2＝90°，
∠1＝2α，
弧DB为半圆的三分之一，则∠OEA＝∠OAE＝30° 则∠2＝60°，α＝30°，
在△OEH中，∠2＝60°，α＝30°，OE＝R， 在OE上取一点K，使HK＝EK，则∠HKO＝2α＝30°， 设HK＝EK＝x，则x+则x＝
＝R，
）R，
，OH＝xtan∠HKO＝（2﹣
﹣1）R，
则CH＝CO﹣OH＝（
在△FHC中，∠DCB＝30°，∠HFC＝45°，CH＝（同理可得：FC＝R， ∵△CFH∽△CBG， ∴
＝．
﹣1）R，
27．在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标；
（3）现将△ABO、△BCD分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值．
【分析】（1）由旋转，平移得到C（1，1），用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先判断出△BEF∽△BAO，再分两种情况进行计算，由面积比建立方程求解即可；
（3）先由平移得到A1B1的解析式为y＝2x+2﹣t，A1B1与x轴交点坐标为（，0）．C1B2
的解析式为y＝x+t+，C1B2与y轴交点坐标为（0，t+），再分两种情况进行计算即可．
【解答】解：（1）∵A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化得到△BCD， ∴BD＝OA＝2，CD＝OB＝1，∠BDC＝∠AOB＝90°． ∴C（1，1）．
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为y＝ax+bx+c， 则有
，
2
∴
∴抛物线解析式为y＝﹣x+x+2， （2）如图1所示，
2
设直线PC与AB交于点E．
∵直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分， ∴
＝或
＝3，
过E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA． ∴△BEF∽△BAO， ∴
．
∴当＝时，，
∴EF＝，BF＝， ∴E（﹣，）
∴直线PC解析式为y＝﹣x+， ∴﹣x2+x+2＝﹣x+， ∴x1＝﹣，x2＝1（舍去）， ∴P（﹣，当
（3）设△ABO平移的距离为t，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分的面积为S． 由平移得，A1B1的解析式为y＝2x+2﹣t，A1B1与x轴交点坐标为M（
，0）．
），
）．
时，同理可得，P（﹣，
C1B2的解析式为y＝x+t+，C1B2与y轴交点坐标为N（0，t+）．
∴点C1的坐标为（1﹣2t，1），点D1的坐标为（1﹣2t，0）． 当点C1在线段A1B1上时，重叠部分从四边形变成三角形， 把点C1的坐标代入直线A1B1的解析式y＝2x+2﹣t中，得t＝； 当点D1在线段A1B1上时，就没有重叠部分了，
把点D1的坐标代入直线A1B1的解析式y＝2x+2﹣t中，得t＝， ①当0＜t＜时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为四边形．
Ⅰ、如图2，当C1D1在y轴右侧时，即0＜t＜时，重叠部分是现四边形ONQM， 设A1B1与x轴交于点M，C1B2与y轴交于点N，A1B1与C1B2交于点Q，连结OQ． 由
，
∴，
∴Q（，）．
∴S＝S△QMO+S△QON ＝×＝﹣＝﹣
2
×+×（t+）×
t+t+
（t﹣
）+
2
．
∵0＜t≤， ∴当t＝
时，S的最大值为
．
Ⅱ、如图4，当C'D'在y轴左侧，即：≤t＜时，点C'在△A'MO内部，其重叠部分是四边形C'QMD'， 同（Ⅰ）的方法得出：Q（∴S＝S△QMD'+S△QON ＝×[＝﹣
2
，）．
﹣（2t﹣1）]×+×1×[﹣（2t﹣1）]
t+1
∵≤t＜， ∴当t＝时，S最大＝∴S＜
②如图3所示，
＜
当≤t＜时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为直角三角形． 设A1B1与x轴交于点H，A1B1与C1D1交于点G． ∴G（1﹣2t，4﹣5t）， ∴D1H＝
+1﹣2t＝
，D1G＝4﹣5t．
×（4﹣5t）＝（5t﹣4）．
2
∴S＝D1H×D1G＝×
∴当≤t＜时，S的最大值为．
综上所述，在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值为
．
28．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝于AB的对称点，连接AF、BF．
，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向
所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值． （3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△
ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝
，
由勾股定理得：BD＝＝＝．
∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，
∴AE＝＝＝4．
在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝4，由勾股定理得：BE＝3．
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示： 由对称点性质可知，∠1＝∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．
①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′， ∴∠3＝∠4， ∴∠3＝∠2，
∴BB′＝B′F′＝3，即m＝3； ②当点F′落在AD上时， ∵AB∥A′B′， ∴∠6＝∠2，
∵∠1＝∠2，∠5＝∠1， ∴∠5＝∠6， 又易知A′B′⊥AD， ∴△B′F′D为等腰三角形， ∴B′D＝B′F′＝3， ∴BB′＝BD﹣B′D＝
（3）存在．
理由如下：假设存在，
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，易知∠2＝2∠Q，
﹣3＝
，即m＝
．
∵∠1＝∠3+∠Q，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠Q， ∴A′Q＝A′B＝5，
∴F′Q＝F′A′+A′Q＝4+5＝9． 在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝∴DQ＝BQ﹣BD＝
﹣
；
＝
＝
．
②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ＝DQ， ∴∠2＝∠P，
∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠P， ∴BA′∥PD， ∵PD∥BC，
∴此时点A′落在BC边上． ∵∠3＝∠2， ∴∠3＝∠1， ∴BQ＝A′Q，
∴F′Q＝F′A′﹣A′Q＝4﹣BQ．
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′+F′Q＝BQ， 即：3+（4﹣BQ）＝BQ， 解得：BQ＝
，
﹣
＝
；
2
2
2
2
2
2
∴DQ＝BD﹣BQ＝
③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，且PD＝DQ，易知∠3＝∠4．
∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4， ∴∠4＝90°﹣∠2．
∵∠1＝∠2， ∴∠4＝90°﹣∠1．
∴∠A′QB＝∠4＝90°﹣∠1，
∴∠A′BQ＝180°﹣∠A′QB﹣∠1＝90°﹣∠1， ∴∠A′QB＝∠A′BQ， ∴A′Q＝A′B＝5，
∴F′Q＝A′Q﹣A′F′＝5﹣4＝1． 在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝∴DQ＝BD﹣BQ＝
﹣
；
＝
＝
，
④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ＝PD，易知∠2＝∠3．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4， ∴BQ＝BA′＝5， ∴DQ＝BD﹣BQ＝
﹣5＝
．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；
DQ的长度分别为
﹣、、﹣或．
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