(全国1卷)2015年理科数学真题(含答案解析)

1z

1．设复数z满足=i，则|z|=（

1z

（A）1

（B）2

）（C）3

）

（D）2

2．sin20ocos10ocos160osin10o =（

3

（A）

23

（B）

21

（C）

21（D）

2

3．设命题p：nN,n22n，则p为（）（A）nN,n22n（C）nN,n22n

（B）nN,n22n（D）nN,n2=2n

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312

x2

y21上的一点，F,F是C上的两个焦点，若5．已知M（x,y）是双曲线C：

00122

MFMF0，则y的取值范围是（

0

1

2

）

33

（A）（-，）

332222

（C）（，）

33

33

（B）（-，）

66

2323（D）（，）

33

6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依

垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛7．设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则（）

14（A）ADABAC

3341

（C）ADABAC

33

14

（B）ADABAC

3341

（D）ADABAC

33

试卷第1页，总16页

8．函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）

13

（A）(k,k),kZ

4413

（C）(k,k),kZ

4413

（B）(2k,2k),kZ

4413

（D）(2k,2k),kZ

44

9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）

（A）5（B）6（C）7（D）8

）

10．(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为（

（A）10（B）20（C）30（D）60

11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（）

（A）1（B）2（C）4（D）8

0

0

12．设函数f(x)=ex(2x1)axa,其中a1，若存在唯一的整数x，使得f(x)0，则a的取值范围是（）

333

（A）[-，1）（B）[-，）

2e2e433

（C）[，）

2e43

（D）[，1）

2e

13．若函数f（x）=xln(xax2)为偶函数，则a=

x2y2

1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标14．一个圆经过椭圆

164

准方程为.

x10

y

15．若x,y满足约束条件xy0，则的最大值为.

xxy40



试卷第2页，总16页

16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.17．（本小题满分12分）S为数列{a}的前n项和.已知a＞0，a2a=4S3.

n

n

n

n

n

n

（Ⅰ）求{a}的通项公式；

n

1（Ⅱ）设b

naa

,求数列{b}的前n项和.

n

nn1

18．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥

平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x和

i

年销售量y（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计

i

量的值.

x

y

w

6.8

(xx)

8

i

i1

2

(ww)

8

i

i1

2

(xx)(y

8

i

i1

i

y)

(ww)(y

8

i

i1

i

y)

46.656.3289.81.61469108.8

18

w表中wx，w=

iii8

i1

试卷第3页，总16页

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u,v),(u,v)，……，(u,v),其回归线vu的斜率和截

1

1

2

2

n

n

距的最小二乘估计分别为：

x2

20．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线ykxa（a＞

4

0）交与M,N两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

1

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=x3ax,g(x)lnx.

4

（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；

ni（Ⅱ）用m

m,n

表示m,n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)

(x0)

，

讨论h（x）零点的个数.

22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是的直径，AC是的切线，BC交

于E.

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是（Ⅱ）若OA

的切线；

3CE，求∠ACB的大小.

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

试卷第4页，总16页

在直角坐标系xOy中，直线C:

1

x=2，圆C：x12y221,以坐标原点

2

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求C，C的极坐标方程；

1

2

（Ⅱ）若直线C的极坐标方程为

3



4

R，设C与C的交点为M,N ,求

23

C2

MN的面积.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数

=|x+1|-2|x-a|，a>0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；

（Ⅱ）若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求试卷第5页，总16页

a的取值范围.

2015年高考理科数学试卷全国1卷（答案解析）

1.【答案】A

2.【答案】D1，故选D. 【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=2󰀖󰀑【答案】C

【解析】p:nN,n22n，故选C. 󰀗󰀑【答案】A

【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C320.620.4+0.63=0.648，故选󰀃A. 󰀘󰀑【答案】A

󰀙󰀑【答案】B 【解析】

116，所以米堆的体积为设圆锥底面半径为r，则23r=8=r=4311320320162，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B. 3()5=43993试卷第6页，总16页

7.【答案】A

【解析】由题知

11

ADACCDACBCAC(ACAB)=

33

14

ABAC，故选A.33

考点：平面向量的线性运算8.【答案】D

1

+42=，【解析】由五点作图知，，解得=，所以f(x)cos(x)，

445+3

42

13

令2kx2k,kZ，解得2k＜x＜2k，kZ，故单调减区

44413

间为（2k，2k），kZ，故选D.

44

考点：三角函数图像与性质

9.【答案】C



1m

【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5,m=0.25,n=1,S=0.5

22

＞t=0.01,是，循环，

m

执行第2次，S=S-m=0.25,m=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，

2m

执行第3次，S=S-m=0.125,m=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，

2m

执行第4次，S=S-m=0.0625,m=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，

2m

执行第5次，S=S-m=0.03125,m=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，

2m

执行第6次，S=S-m=0.015625,m=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，

2m

执行第7次，S=S-m=0.0078125,m=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，

2

输出n=7，故选C.

考点：本题注意考查程序框图10.【答案】C

【解析】在(x2xy)5的5个因式中，2个取因式中x2剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y,故x5y2的系数为C2C1C2=30，故选 C.

5

3

2

考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.

【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.11.【答案】B

试卷第7页，总16页

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为

r，圆柱的高为

1

4r2r2rr22r2r=2r，其表面积为2

5r24r2=16 + 20，解得r=2，故选B.

考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式12.【答案】D

【解析】设g(x)=ex(2x1)，yaxa，由题知存在唯一的整数x，使得g(x)在

0

0

直线yaxa的下方.

11

因为g(x)ex(2x1)，所以当x时，g(x)＜0，当x时，g(x)＞0，所

22

11

以当x时，[g(x)]=-2e2，

max2

当x0时，g(0)=-1，g(1)3e0，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故

3

ag(0)1，且g(1)3eaa，解得≤a＜1，故选D.

2e

1

考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题13.【答案】1

【解析】由题知yln(xax2)是奇函数，所以ln(xax2)ln(xax2)=ln(ax2x2)lna0，解得a=1.考点：函数的奇偶性

32514.【答案】(x)2y2

24

【解析】设圆心为（a，0），则半径为4a，则(4a)a2

2

2

2，解得

3

a，故

2

325

圆的方程为(x)2y2.

24

考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程

15.【答案】3

y

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原

x

试卷第8页，总16页

y

点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.

x

考点：线性规划解法

16.【答案】（62，6+2）

【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，

BCBE

在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即

sinEsinC

2BE

，解得BE=6+2，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时

sin30osin75o

与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，

BFBCBF2

，即，解得BF=62，所以AB的取值

sinFCBsinBFCsin30osin75o

范围为（62，6+2）.

考点：正余弦定理；数形结合思想

1117.【答案】（Ⅰ）2n1（Ⅱ）

64n6

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{a}的递推公式，可以判

n

断数列{a}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{a}的通项公式；（Ⅱ）

n

n

根据（Ⅰ）数列{b}的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.

n

试题解析：（Ⅰ）当n1时，a22a4S34a+3，因为a0，所以a=3，

1

1

1

1

n1

当

n2时，a2aa2a=4S34S3=4a

nn1nnnn1n1

n

1n

，即

(a

a)(a

n1

a)

n

2a(aa0)，所以aa，因为

n

nn

n

n1

=2，

试卷第9页，总16页

所以数列{a}是首项为3，公差为2的等差数列，

n

所以a=2n1；

n

1111

()，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=

n(2n1)(2n3)22n12n3

所

以

数

列

{

b

n

}前n项和为

bb

1

2

b

n

=

11111

[()()235571111

()] =.2n12n364n6

考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法

3

18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

3

【解析】试题分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=3.由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又∵AE⊥EC，∴EG=3，EG⊥AC，

2在Rt△EBG中，可得BE=2，故DF=.

26

在Rt△FDG中，可得FG=.

2

232

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=可得EF=，

22

∴EG2FG2EF2，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，

∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

试卷第10页，总16页

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－3，0），E（1,0,

2），

22F（－1,0，），C（0，3，0），∴AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，）.…10

22

分

AECF3

故cosAE,CF.

3|AE||CF|3

所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.

3

考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

19.【答案】（Ⅰ）ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；（Ⅱ）y100.668x（Ⅲ）46.24

【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令

wx，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）

利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.

试题解析：

（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.

(ww)(y

8

（Ⅱ）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于d

ii

y)

=

2

i1

(ww)

8

i

i1

试卷第11页，总16页

108.8

=68，16

∴cydw=563-68×6.8=100.6.

∴y关于w的线性回归方程为y100.668w，∴y关于x的回归方程为y100.668x.

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值

y100.66849=576.6，

z576.60.24966.32.

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

z0.2(100.668x)xx13.6x20.12，

13.6

=6.8，即x46.24时，z取得最大值.∴当x=2

故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分

考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20.【答案】（Ⅰ）axya0或axya0（Ⅱ）存在

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将ykxa代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用a表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件的P点坐标.

22,)a，N(2a,a).试题解析：（Ⅰ）由题设可得M(2a,a)，N(22,a)，或M(

x21

∵yx，故y在x=22a处的到数值为a，C在(22a,a)处的切线方程为

42yaa(x2a)，即axya0.

x2

故y在x=-22a处的到数值为-a，C在(22a,a)处的切线方程为

4yaa(x2a)，即axya0.

故所求切线方程为axya0或axya0.（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，M(x,y)，N(x,y)，直线PM，PN的斜率分别为k,k.

1

1

2

2

1

2

将ykxa代入C得方程整理得x24kx4a0.

试卷第12页，总16页

∴xx4k,xx4a.

1

2

12

ybyb2kxx(ab)(xx)k(ab)

1212=2∴kk1=.

12xxxxa

1

2

12

当ba时，有kk=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

1

2

故∠OPM=∠OPN，所以P(0,a)符合题意.

考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力

3353

（Ⅱ）当a或a时，h(x)由一个零点；当a21..【答案】（Ⅰ）a；4444

553

或a时，h(x)有两个零点；当a时，h(x)有三个零点.

444

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x分为x1,x1,0x1研究h(x)的零点个数，若零点不容易求解，则对a再分类讨论.

试题解析：（Ⅰ）设曲线yf(x)与x轴相切于点(x,0)，则f(x)0，f(x)0，

0

0

0

13

13x0ax00

4即，解得x,a.

0243x2a0

0

3

因此，当a时，x轴是曲线yf(x)的切线.

4(,)（Ⅱ）当x1

时，g(x)lnx0，从而h(x)min{f(x),g(x)}g(x)0，

∴h(x)在（1，+∞）无零点.

55

()a0，h(1)min{f(1),g(1)}g(1)0,故x=1当x=1时，若a，则f1

44

55

1)a0，h(1)min{f(1),g(1)}f(1)0,是h(x)的零点；若a，则f(

44

故x=1不是h(x)的零点.

当x(0,1)时，g(x)lnx0，所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数.（ⅰ）若a3或a0，则f(x)3x2a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单

15

调，而f(0)，f(1)a，所以当a3时，f(x)在（0，1）有一个零点；当

44

a0时，f(x)在（0，1）无零点.

试卷第13页，总16页

aa

（ⅱ）若3a0，则f(x)在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，

33aa1a2a

.故当x=时，f(x)取的最小值，最小值为f()=

333433a

①若f()＞0，即＜a＜0，f(x)在（0,1）无零点.

343a

②若f()=0，即a，则f(x)在（0,1）有唯一零点；

34

315a

③若f()＜0，即3a，由于f(0)，f(1)a，所以当

3444535

a时，f(x)在（0,1）有两个零点；当3a时，f(x)在（0,1）444

有一个零点.…10分

3535

综上，当a或a时，h(x)由一个零点；当a或a时，h(x)有

444453

两个零点；当a时，h(x)有三个零点.

44

考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想22.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°

【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE是圆O的切线；（Ⅱ）设CE=1,由OA

3CE得，AB=23，设AE=x，由勾股定理

得BE12x2，由直角三角形射影定理可得AE2CEBE，列出关于x的方程，解出x，即可求出∠ACB的大小.试题解析：（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连结OE，∠OBE=∠OEB，

∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线.

（Ⅱ）设CE=1，AE=x,由已知得AB=23，BE12x2，由射影定理可得，AE2CEBE，

∴x212x2，解得x=3，∴∠ACB=60°.

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考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23.【答案】（Ⅰ）cos2,22cos4sin40（Ⅱ）【解析】

1

2

C的极坐标方程；试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得C，（Ⅱ）

1

2

将将=



4

代入22cos4sin40即可求出|MN|，利用三角形面积公式即

可求出CMN的面积.

2

试题解析：（Ⅰ）因为xcos,ysin，∴C

的极坐标方程为cos2，C

的极坐标方程为

12

22cos4sin40.……5分

（Ⅱ）将=



4

2324022cos4sin40代入，得，解得1

1

2

=22，=2，|MN|=－=2，

2

11

因为C的半径为1，则CMN的面积21sin45o=.

2222

考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系

224.【答案】（Ⅰ）{x|x2}（Ⅱ）（2，+∞）

3

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f（x）>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将f(x)化为分段函数，求出f(x)与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，

x11x1x12等价于或或，解得x2，

3x12x21x12x21x12x21

2

所以不等式f（x）>1的解集为{x|x2}.

3

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x12a,x1

（Ⅱ）由题设可得，f(x)3x12a,1xa，

x12a,xa

2a1

,0)，所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(3

2

B(2a1,0)，C(a,a+1)，所以△ABC的面积为(a1)2.

3

2

由题设得(a1)2＞6，解得a2.

3

所以a的取值范围为（2，+∞）.

考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法

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