第一部分 数的认识
整数和小数
一、自然数和整数
自然数和负整数通称为整数，整数的个数是无限的。
1、自然数：用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5……叫做自然数。任何一个非零自然数都是由若干个1组成的，所以“1”是非零自然数的单位。最小的自然数是0，没有最大的自然数，所以自然数的个数是无限的。
2、负整数：小于0的整数叫负整数，如－2，－68等都是负整数。 二、数位和位数 1、数位：“数位”是指各个计数单位所占的位置。整数中，从右往左，有个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位……；小数中，从左往右，有十分位、百分位、千分位……。
2、位数：位数与数位的意思不同。位数是指一个自然数中含有数位的个数。例如：168是三位数。因为一个数的最高位不能是0，所以最小的一位数是1，而不是0。
3、每个数位上的数都有相应的计数单位。如个位的计数单位就是一，十位的计数单位就是十，百分位的计数单位就是百分之一（或者0.01）……。
三、十进制
所谓十进制就是指每相邻的两个计数单位之间的进率都是十。满十进一。 四、多位数的读法和写法
1、多位数的分级：四位一级；个、十、百、千四位，称为个级；万、十万、百万、千万四位，称为万级；亿、十亿、百亿、千亿四位，称为亿级。
2、多位数的读法和写法 3、整数大小的比较
4、改写和省略尾数的区别
（1）改写后是写准确数，用等号连接，如：268000改写成以万为单位的数就是26.8万。
（2）省略尾数四舍五入后是近似值，用约等号连接。比如：268000省略万后面的尾数就是≈27万。
五、小数
1、小数的意义
小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001…… 每相邻两个计数单位之间的进率是10。
第1页（共11页）
2、小数的数位：十分位、百分位、千分位、万分位…… 3、小数的读法和写法 4、有限小数和无限小数：无限小数可分为无限循环小数和无限不循环小数。 5、小数的性质：小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。要注意的是在“小数的末尾”而不是“小数点的后面”。
6、小数数位的变化
小数数位的变化是由小数点位置移动所引起的，小数点位置的移动必将引起小数大小的变化。小数点向左移动一位、两位、三位……小数就缩小到原数的十分之一、百分之一、千分之一……小数点向右移动一位、两位、三位……小数就扩大到原数的10倍、100倍、1000倍……。
7、小数大小的比较 8、求一个小数的近似数
求一个小数的近似数时，保留整数，表示精确到各位；保留一位小数，表示精确到十分位（或0.1）；保留两位小数，表示精确到百分位（或0.01）……
注：在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉。
分数和百分数
一、分数的意义
二、分数的分类：真分数和假分数。真分数小于1；假分数大于等于1。假分数可以化成带分数或整数。
三、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外，这很关键）分数的大小不变。
四、约分和通分
五、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。自然数中，1的倒数最大。
六、百分数：也叫百分率或百分比。
百分数表示一个数是另一个数的百分之几，一般不表示具体的数量，所以后面绝不能带单位。
七、分数大小的比较
八、分数与小数、百分数的互化。 九、折扣、利息和纳税
“几折”或“几成”就是表示十分之几，也就是百分之几十。 利息＝本金×利率×时间
整数的性质
一、因数和倍数：
2×3＝6，2和3是6的因数，6是2和3的倍数。因数和倍数是相互依存
第2页（共11页）
的。不能单独地说谁是因数，或谁是倍数。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
2、3、5的倍数的特征：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数。 二、奇数和偶数：
自然数中是2的倍数的数叫做偶数。最小的偶数是0；除2和0外，其余的偶数都是合数。
不是2的倍数的自然数叫做奇数，最小的奇数是1。奇数不全部是质数。 三、质数和合数 1、质数和合数
只有1和它本身两个因数的数叫做质数，也叫素数。如：2、3、5、7、11…… 除了1和它本身两个因数外还有别的因数的数叫做合数。如：4、6、8、9、10……
1既不是质数也不是合数，因为它只有一个因数。最小的质数是2，最小的合数是4。
2、分解质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。比如：30＝2×3×5，2、3和5是30的质因数。
3、公因数和最大公因数
几个数公有的因数称为这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
四、互质数
公因数只有1的两个数叫做互质数。
1和任何非零自然数是互质数，比如：1和3，1和6…… 两个质数是互质数，比如：2和3，7和11……
相邻的两个自然数也是互质数，比如：3和4，8和9…… 五、公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
六、求最大公因数和最小公倍数的方法
一般采用短除法。如果两个数是倍数关系，则大数是它们的最小公倍数，小数是它们的最大公因数；如果两个数是互质关系，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的积。
七、近似值
求近似值的方法根据具体情况不同有以下三种：（1）四舍五入法，（2）进一法，（3）去尾法。
第3页（共11页）
第二部分 数的运算
四则运算的意义和法则
一、四则运算的意义
加法 运算意义 把两个（或几个）数合并成一个数的运算叫做加法 各部分之间的关系 加数＋加数＝和 a＋b＝c 和－ 一个加数＝另一个加数 c－a＝b c－b＝a 被减数－减数＝差 c－a＝b 减数＋差＝被减数 a＋b＝c 被减数－差＝减数 c－b＝a 因数×因数＝积 a×b＝c 积÷一个因数＝另一个因数 c÷a＝b c÷b＝a 被除数÷除数＝商 c÷a＝b 除数×商＝被除数 a×b＝c 商×除数＋余数＝被除数 被除数÷商＝除数 c÷b＝a 减法 已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法 一个数乘整数，是求几个相同加数和的简便运算 一个数乘小数或分数是求这个数的几分之几是多少 乘法 除法 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法 减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，乘法是加法的简便运算。 二、四则运算的法则
相同计数单位上的数才能相加或者想减。0不能做除数。
四则混合运算
一、四则混合运算的运算顺序
只有乘除或只有加减的算式，从左往右依次计算。
既有乘除，又有加减的算式，先乘除后加减；有小括号的，先算小括号里面。 二、运算定律
加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：a＋b＋c＝a＋（b＋c） 乘法交换律：a×b＝b×a 乘法结合律：a×b×c＝a×（b×c） 乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c 三、运算性质
减法运算性质：a－（b＋c＋d）＝a－b－c－d
除法运算性质1：被除数、除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 除法运算性质2：a÷（b÷c）＝a÷b×c a÷b÷c＝a÷（b×c） 四、估算
第4页（共11页）
第三部分 式与方程
一、用字母表示数
用字母可以表达数量关系、运算定律和计算公式。a2表示两个a相乘，即a×a；而2a表示两个a相加，即a＋a。a3表示三个a相乘，即a×a×a；而3a表示三个a相加，即a＋a＋a。
二、简易方程
含有未知数的等式叫做方程。方程一定是等式，但等式不一定是方程。 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。方程的解是个数，解方程是一个过程。解方程时不仅要注意书写的格式，还要养成检验的好习惯。
三、列方程解决问题
第四部分 比和比例
一、应理解掌握的概念
1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2、比值：比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 4、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。
5、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 6、解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。 7、比例尺：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺（比例尺是一个比）。 8、正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比
y
例的量，它们的关系叫正比例关系。用字母表示为： x ＝k（一定）。
9、反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。用字母表示为：xy＝k（一定）。
二、应掌握运用的方法 1、比和比例的联系和区别 比 意义 两个数相除 形式 由两项组成 各部分名称 组成 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 任意两个数都可前项、比号、以组成比（同类量后项、比值 或不同类量） 两个内项、两个外项 任意四个数不一定能组成比例 比例 两个比相等的式子 由四项组成
第5页（共11页）
2、比、分数和除法的联系和区别
a 比（a：b或 ） b a 分数（ ） b 除法（a÷b） 区别 前项 分子 被除数 比号（：） 分数线（—） 除号（÷） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 比表示两个数之间的倍数关系，除法是一种运算，分数是一个数 3、求比值和化简比的区别：求比值是将前项除以后项，所得的结果是一个
数；化简比是将一个比化成最简整数比，所得的结果是一个比。
4、比例尺是比的概念的实际应用。 比例尺分为线段比例尺和数值比例尺。
1
数值比例尺：1：70000或 70000 ，表示图上1厘米，相当于实际70000厘米（即700米）。
线段比例尺： 0 100 200 米 ，表示地图上1厘米，相当于实际距离100米。
5、判断两种量是成正比例、反比例还是不成比例的方法： （1）找出题目中哪两种量是相关联的；
（2）根据这两种相关联的量与第三个量的关系列出数量关系式；
（3）看第三个量是比值（商）还是积，若比值（商）一定，就是正比例；若积一定就是反比例。
第五部分 解决问题
一、常见的数量关系
数量名称 单价、数量、总价 速度、时间、路程 速度和、相遇时间、 相距路程 数量关系式 单价×数量＝总价 总价÷数量＝单价 总价÷单价＝数量 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 速度和×相遇时间＝相距路程 相距路程÷速度和＝相遇时间 相距路程÷相遇时间＝速度和 单产量、数量、总产量 单产量×数量＝总产量 总产量÷数量＝单产量 总产量÷单产量＝数量 工作效率、工作时间、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作时间＝工作效率 工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 本金、时间、利率、利息 本金×利率×时间＝利息 二、典型和稍复杂的解决问题 三、分数（百分数）问题 1、分数（百分数）问题的分类
（1）求甲数是乙数的几分之几（百分之几），就是求两个数的倍数关系。方
第6页（共11页）
法是：甲数÷乙数。
（2）求一个数的几分之几（百分之几）是多少。用乘法来算。
（3）已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数。这是上面第二类题目的逆运算。可以用除法或列方程解。
（4）求一个数比另一个数多（或少）几分之几（百分之几）。方法是：“两个数的差”÷单位“1”。如：5比4多百分之几？方法是：（5－4）÷4＝25%
（5）已知一个数比另一个数多（或少）几分之几（百分之几），求这个数； 单位“1”已知，用乘法；单位“1”未知，用除法或用方程解。
2、用分数、百分数解决问题，关键的一条是弄清数量与分率之间的对应关系（即弄清谁是谁的几分之几或百分之几），所以一定要注意两个对比。比如下面的四道题，就要学会区分。
（ ） 1
1）一堆煤5吨，用去 5 ，还剩 。
（ ） 1
2）一堆煤5吨，用去 5 ，还剩（ ）吨。 （ ） 1
3）一堆煤5吨，用去 5 吨，还剩 。
（ ） 1
4）一堆煤5吨，用去 5 吨，还剩（ ）吨。
3、用百分数解决生活中的问题：发芽率、合格率、出勤率等等。 发芽种子数 合格产品数
发芽率＝ ×100% 合格率＝ ×100%
试验种子总数 产品总数 实际出勤人数 花生油质量
出勤率＝ ×100% 花生出油率＝ ×100%
应出勤人数 花生质量
第六部分 量与计量
量 人民币 计量单位名称 元、角、分 千米（km） 米（m） 分米（dm） 厘米（cm） 毫米（mm） 1000 10 10 10
第7页（共11页）
各单位间的进率 1元＝10角，1角＝10分 1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米 1米＝100厘米 长度单位 面积单位 平方千米（km2） 100 公顷（hm2） 10000 2平方米（m） 100 2平方分米（dm） 100 平方厘米（cm2） 立方米（m3） 1000 立方分米（dm3） 1000 立方厘米（cm3） 升（L） 1000 毫升（ml） 吨（t） 1000 千克（kg） 1000 克（g） 世纪 100 年 12 月 日 24 时 60 分 秒 60 1平方千米＝100公顷 1公顷＝10000平方米 1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米 1平方千米＝100 0000平方米 1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米 1立方米＝100 0000立方厘米 1升＝1000毫升 1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1吨＝1000千克 1千克＝1000克 1世纪＝100年 1年＝12月 1日＝24时 1时＝60分 1分＝60秒 1时＝3600秒 体积单位 容积单位 质量单位 时间单位 （1）关于计时法：24时计时法和12时计时法。 （2）关于闰年：四年一闰，百年不闰，四百年一闰。 （3）平年365日，闰年366日，全年12个月，四个季度（春夏秋冬，每3个月一个季度）；大月（31天）：1、3、5、7、8、10、12；小月（30天）：4、6、9、11；平年二月有28日，闰年二月有29日。
第七部分 图形与几何 线
一、直线、线段和射线的比较
名称 直线 线段 射线 端点 没有 两个 一个 长度 无限长 有限长 无限长 测量 不可测 可测量 不可测 都是直的 共同点 二、同一平面上线与线的关系
同一平面上的两条直线或平行或相交。
1、垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
2、平行线：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。平行线之间的距离处处相等。
第8页（共11页）
角
一、角的定义
角：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。角的大小跟两条边张开的程度有关，跟两边长短无关。
二、角的分类
锐角：大于0°而小于90°的角。 直角：等于90°的角。 钝角：大于90°而小于180°的角。
平角：等于180°的角。 周角：等于360°的角。
平面图形
一、平行四边形和梯形（四边形）
1、定义：两组对边分别平行并且相等的四边形叫做平行四边形。平行四边形具有不稳定性。
2、长方形和正方形是特殊的平行四边形，因为长方形和正方形具备平行四边形的所有特征；正方形是特殊的长方形。
二、三角形（由三条线段围成的图形）（每相邻两条线段的端点相连） 1、按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 2、按边分：等腰三角形（只有两条边相等的三角形）、等边三角形（每个内角都是60°）、不等边三角形（三条边都不相等的三角形）。
3、三角形具有稳定性。 三、圆（封闭的曲线图形） 1、圆的各部分名称：半径（r）、直径（d）、圆心（O）
2、圆的特点：同圆或等圆内，有无数条直径和半径，并且所有的直径都相等，所有的半径都相等；任何一个圆，不管有多大，它的周长永远是直径的π倍。圆的位置由圆心决定；圆的大小由半径决定。 圆的周长和直径的比值是个固定的值，叫做圆周率。
3、圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线。圆的对称轴有无数条。
四、各种平面图形特征及周长、面积计算公式
名称 正方形 长方形 平行四边形 特征 四条边都相等，四个角都是直角 两组对边分别相等，四个角都是直角 两队对边分别平行而且相等的四边形；具有不稳定性（易变形）；
第9页（共11页）
周长 C正方形＝边长×4 C正方形＝4a 面积 S正方形边长×边长 S正方形＝a×a＝a² C长方形＝（长＋宽）×2 S长方形＝长×宽 C长方形＝（a＋b）×2 S长方形＝ab 四条边相加 S平行四边形＝底×高 S平行四边形＝ah 三角形 有三条边和三个角，且两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，内角和是180° 三条边相加 三角形具有稳定性。 S三角形＝底×高÷2 1S三角形＝＝ ah 2S梯形＝（上底＋下底）×高÷2 1S梯形＝ （a＋b）h 2S圆＝圆周率×半径² S圆＝πr² S圆环＝π（R²－r²） 梯形 有且只有一组对边平行的四边形。 四条边相加 圆形 C圆＝圆周率×直径 同圆或等圆内所有半径、所有直径都相等，C圆＝πd 直径等于半径的2倍 C圆＝2πr 两个同心圆组成的图形 圆环 【温馨提醒】
（1）三角形和梯形面积计算都要“÷2”，因为在推导三角形和梯形面积公式时，都是用两个完全一样的图形拼成平行四边形，因此要“÷2”才是三角形和梯形的面积。
（2）半圆的周长和圆的周长的一半的区别。 πd
半圆周长=2 ＋d＝πr+2r＝5.14 r（填空题可直接用此公式） πd
圆周长的一半=2 ＝πr
立体图形
一、各种立体图形特征及表面积、体积计算公式
名称 特征 6个面都是长方形（也可能有一组对面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱中，相对的4条棱长度相等；有8个顶点 6个面都是正方形，面积相等；12条棱长度都相等；有8个顶点 表面积 S长方体＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S长方体＝（ab＋ah＋bh）×2 S正方体＝棱长×棱长×6 S正方体＝6a2 体积 V长方体＝长×宽×高 V长方体＝abh V正方体＝棱长×棱长×棱长 V正方体＝a×a×a＝a³ V圆柱＝底面积×高 V圆柱＝πr²h 1V圆锥＝ ×底面积×高 31V圆柱＝ πr²h 3V＝sh 长方体 正方体 圆柱 由两个底面和一个侧面组成；圆柱S侧面积＝底面周长×高 的侧面展开后是一个长方形（或正S圆柱表面积＝2S底面积＋S侧面积 方形），它的长就是圆柱底面的周 ＝2πr²＋πdh 长，宽就是圆柱的高。 由一个底面和一个侧面组成；侧面展开是一个扇形。 圆锥
第10页（共11页）
【温馨提醒】
1
（1）圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的3 ；圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍。
（2）如果一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，那么圆锥的高是圆柱的3倍。
（3）如果一个圆柱和一个圆锥体积相等，高也相等，那么圆锥的底面积是圆柱的3倍。
二、图形与变换
1、轴对称图形：图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的图形能完全重合。 2、图形平移
3、图形旋转：顺时针、逆时针 4、图形的放大与缩小 三、图形与位置
第八部分 统计与概率
一、数据的收集和整理
二、统计表和统计图：统计数据除了可以分类整理成统计表外，还可以制成统计图。
1、统计表：单式统计表和复式统计表 2、统计图：
（1）条形统计图：用直条的长短表示数量的多少，能清楚地看出数量的多少； （2）折线统计图：用折线起伏表示数量增减变化，从图中不仅能看出数量的多少，还能清楚地看出数量增减变化的情况。
（3）扇形统计图：用整个圆表示总数量，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总量的百分数的统计图；它的特点是：从图中能清楚地看出部分与总量、部分与部分之间的关系。
三、统计量：平均数、中位数和众数
统计量 平均数 定义 求平均数要用所有总数量除以所有的份数，一定要找准总数量和总份数。 一组有序数据中间的数叫做这组数据的中位数 一组数据中出现次数最多的数 特征 会受到每个数据的影响，常用来反映一组数据的总体水平。 不受偏大或偏小数据的影响。有时用它代表全体数据的一般水平更合适。 能够反映一组数据的集中情况。 数量 只有1个 中位数 众数
只有1个 0、1、2……
第11页（共11页）
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容