(理数)湛江市2013届高中毕业班调研测试

湛江市2013届高中毕业班调研测试

数学（理科）

本试卷共4页，共21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：

锥体的体积公式：V1Sh，其中S是底面面积，h是高. 3

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．已知i是虚数单位，若zi2i，则复数z=

A．12i B.12i C．12i D．12i 2．设集合U{x|x2},A{x|xx}，则CUA

A．φ B．{x|1x2} C．{x|x0或1x2} D．{x|x1或0x2} 3．已知函数f(x)2log2xx0，若f(a)2，则a=

x1x0A．4 B．2 C．1 D．-1

x2y21表示双曲线”的 4．已知mR，则“0m1”是“方程

m1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知点M是△ABC中BC边的中点，MA(1,2),AB(2,3)，则BC A.(6,2) B.(-6,-2) C.(2,10) D.(-2,-10)

1

x06．若A是不等式组y0表示的平面区域，则当实数a从-2连续变化到1时，动直线

yx2xya扫过A中的那部分面积为

37A． B．1 C．

44D．5

7．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视

图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是

 B． 32C． D．

4A．

8．研究函数f(x)x(xR)的性质，分别给出下面结论： 1|x|①若x1x2，则一定有f(x1)f(x2)； ②函数f(x)在定义域上是减函数； ③函数f(x)的值域为（-1，1）；

④若规定f1(x)f(x),fn1(x)f[fn(x)]，则fn(x)x对任意nN*恒成

1n|x|立．其中正确的结论有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

9．不等式|2x1|1的解集是_______________.

10．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如 图）．由图中数据可知a=____.

11．从1，2，3，4，5五个数字中任取三个数字， 则这三个数字能组成等差数列的概率为

_______________________．

12．如图是一个算法的程序框图，若输入的x8，则输出的k=_________；

若输出的k2，则输入的x的取值范围是___. 13．已知函数yx3xd的图象与x轴恰有两个公共点， 则d=________．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）

2

3在极坐标系中，圆43cos的圆心到直线3(R)的距离是______.

15．（几何证明选讲选做题）

如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线

PCD经过圆心，若PA=3，AB=1，PO=4，则⊙O的半径为____．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)3sin3xcos3xa过点(,0).

3(1)求a的值及函数yf(x)的最小正周期； (2)若[0,]且f()2，求cos()的值． 336

17．（本小题满分13分）

已知等差数列{an}的公差为d(d等比数列{bn}的公比为q,a1b11,a2b2,a5b3. 0)，(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)若cnanbn，求数列{cn}的前n项和Sn． 18．（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， 已知AB=3,AD=2，PA=2，PD22,PAB60.

(1)求证：AD平面PAB;

(2)求二面角A-PB-D的余弦值． 19．（本小题满分14分）

某食品店每天以每瓶2元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶，然后以每瓶3元的价格出售，如果当天卖不完，余下的酸奶变质作垃圾处理．

(1)若食品店一天购进170瓶，求当天销售酸奶的利润y（单位：元）关于当天的需求量n（单位：瓶，nN)的函数解析式；

(2)根据市场调查，100天的酸奶的日需求量（单位：瓶）数据整理如下表： 日需求量n 天数 150 17 160 23 170 23 180 14 190 13 200 10 若以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.食品店一天购进170瓶酸奶， X表示当天的利润（单位；元），求X的分布列和数学期望EX．

3

20．（本小题满分14分）

如图，设P是圆x2y22上的动点，PDx轴，垂足为D，M为线段PD上一点，且|PD|2|MD|，点A、F1的坐标分别为(0,2),(1,0).

(1)求点M的轨迹方程；

(2)求|MA||MF1|的最大值，并求此时点M的坐标． 21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)的图象由函数g(x)(得到．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)当a=1时，求函数f(x)的最小值；

(3)若函数f(x)的最小值是m，且m7，求实数a的取值范围.

114a1)2x1x1(a0)向左平移1个单位a42 4

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共30分）

9.(0,1) 10.0.030 11.0.4 12.4; (28,57] 13.2 14.3 15.2 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16．（本小题满分12分） 解：(1)依题意得

3sin(3)cos(3)a0 …1分

33解得a1 …3分

3sin3xcos3xa2sin(3x)1 ……5分

62∴函数yf(x)的最小正周期T. ……7分

3(2)f()2sin()12. …8分

361sin(). ………9分

62[0,]

3[,] …10分

662由f(x)3. …………12分 cos()1sin2()26617.（本小题满分13分）

解：(1)由条件：1dq14dq2 ……2分

d2解之得： ……4分

q3an2n1,bn3n1. …………6分

(2)Sn113353(2n3)312n2(2n1)3n1

………8分

3Sn13332533(2n3)3n1(2n1)3n …10分

两式相减得：2Sn12(333323n1)(2n1)3n

5

33n1312(2n1)3n

132(22n)3n …………12分

Sn(n1)3n1. …13分

18．（本小题满分13分）

解：(1)证明：在△PAD中，由题设PA=2，AD=2，PD22可得

PA2AD2PD2于是ADPA. …………3分

在矩形ABCD中，ADAB，又PAABA.

AD平面PAB． …………6分

(2)如图，建立直角坐标系，注意平面PAB平面ABCD，则

P(1,0,3),B(3,0,0),D(0,2,0). ……9分

设平面PBD的法向量为n(x,y,z),PB(2,0,3)，PD(1,2,3).

2x3z0. x2y3z0令n(23,33,4). ……11分 又平面PAB的法向量为AD(0,2,0). 则cosn,ADnADnAD316555.

∴所求二面角的余弦值为19．（本小题满分14分）

316555. …………13分

解：(1)当n<170时，y3n17023n340. ……2分

当n170时，y(32)170170. ……4分

3n340n170. …5分 y170n170(2)X可取值：110，140，170．…………………………………………………7分

依题意：n=150，160及不小于170的频率分别为0.17，0.23，0.6．…………10分 ∴分布列为： X

110 140 6

170 P 0.17 0.23 0.6 ……12分

EX1100.171400.231700.6152.9. ………14分 20．（本小题满分14分）

解：(1)设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(xp,yp). ……1分

PDx轴，垂足为D,

∴由条件得：xpx，且yp∵点P在圆x2y22上．

2y. …3分

x2(2y)22.

x2y21. …………6分 整理得：2(2)由(1)知：M的轨迹方程是椭圆，F1是左焦点，设右焦点为F2，坐标为(1，0)

|MA||MF1|22|MA||MF2|22|AF2|223. ……9分

当A，F2，M三点共线，且M在AF2延长线上时，取等号． …………11分 直线AF2的方程为xy21. …12分

x2y21（其中1x2）代入． 246x5解得. …………13分

y2235即所求的最大值为223，此时M的坐标是(

21．（本小题满分14分）

解：(1)依题意：f(x)()2(2)当a=1时，

46223,). ………14分 551a14x4a1 …………2分 x2333x3f(x)2xx22x3

4242（当且仅当

3x32x，即x=1时取等号） …………4分 42 7

∴当a=1时函数f(x)的最小值是3． …………5分

(3)f'(x)((4a1)111)2xln2ln ………7分 xa42211ln2[()(2x)2(4a1)]a4 x24a)(2x)24a1(*) ……………8分 ∴由f'(x)0得：(4a①当4a4a0，即：a<0时，(2x)24a(4a1)4a104a.

即：当xlog4a(4a1)24a时，函数f(x)递增；

当xlog4a(4a1)24a时，函数f(x)递减，

∴函数f(x)只有最大值，矛盾； 4a②当4a0，即：0a1时，(*)式的解集为R．

4a104此时函数f(x)单调递增，不存在最小值；

4a③当4a0，即a≥4时，(*)式的解集为φ．

4a10此时函数f(x)单调递减，不存在最小值； ④当4a014a(4a1)4a，即4a104a4时，(2x)24a.

∴当xlog4a(4a1)24a时，函数f(x)递增，

当xlog24a(4a1)4a时，函数f(x)递减，

8

分

………12分

…………10 ∴函数f(x)当xlog24a(4a1)(4a)(4a1)时有最小值2.

4a4a21(4a)(4a1)7. a2.

24a综上所述，满足题设条件的实数a的取值范围是(,2). ……14分 注：如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.

12 9