高中数学数列习题

第一篇范文：高中数学数列测试题_附答案与解析

强力推荐人教版数学高中必修5习题

第二章数列

1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2005，则序号n等于()．

A．667B．668C．669D．670

2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝()．

A．33B．72C．84D．189

3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则()．

A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＜a4＋a5D．a1a8＝a4a5

4．已知方程(某2－2某＋m)(某2－2某＋n)＝0的四个根组成一个首项为

｜m－n｜等于()．

A．1B．313C．D．8421的等差数列，则4

5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为().

A．81B．120C．168D．192

6．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是()．

A．4005B．4006C．4007D．4008

7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列,则a2＝()．

A．－4B．－6C．－8D．－10

8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若

A．1B．－1C．2D．12

a2a1的值是()．b2a5S5＝，则9＝()．a3S599．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则

A．11111B．－C．－或D．42222

210．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－an＋an＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝38，则n＝()．

第1页共9页

A．38B．20C．10D．9

二、填空题

11．设f(某)＝1

2某，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋

f(5)＋f(6)的值为12．已知等比数列{an}中，

(1)若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝．

(2)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．

(3)若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝.

82713．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．23

14．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则此数列前13项之和为.

15．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝.

16．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝；当n＞4时，f(n)＝．

三、解答题

17．(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an}成等差数列.

(2)已知

第2页共9页111bccaab，，成等差数列，求证，，也成等差数列.abcabc

18．设{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．

(1)求q的值；

(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．

19．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝

求证：数列{

20．已知数列{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列，Sn为其前n项和，a1，2a7，3a4成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6成等比数列.

第3页共9页n2Sn(n＝1，2，3…)．nSn}是等比数列．n

第二章数列

参考答案

一、选择题

1．C

解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋(n－1)d，即2005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．

2．C

解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．

设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21，

即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．

解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)，

∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3某22某7＝84．

3．B．

解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．

又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，

∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d＋12d2＞a1·a8．

4．C

解析：

解法1：设a1＝

中两根之和也为2，

∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，

∴d＝

∴11735，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根．244441111，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程某2－2某＋m＝0中两根之和为2，某2－2某＋n＝04444715，分别为m或n，1616

第4页共9页

∴｜m－n｜＝1，故选C．2

715，n＝，1616

1．27，于是可得等4∴m＝∴｜m－n｜＝

5．B

解析：∵a2＝9，a5＝243，a5243＝q3＝＝27，a29

∴q＝3，a1q＝9，a1＝3，

3－35240∴S4＝＝＝120．1－32

6．B

解析：

解法1：由a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，知a2003和a2004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2003＞a2004，即a2003＞0，a2004＜0.

∴S4006＝

∴S4007＝4006(a1＋a4006)2＝4006(a2003＋a2004)2＞0，40074007·(a1＋a4007)＝·2a2004＜0，22

故4006为Sn＞0的最大自然数.选B．

解法2：由a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，

0，a2004＜0，

∴S2003为Sn中的最大值．

∵Sn是关于n的二次函数，如草图所示，

∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，∴4007在对称轴的右侧．2(第6题

)同解法1的分析得a2003＞根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧

第5页共9页零点B的左侧，4007，4

第二篇范文：高中数学数列习题(含答案)

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列四个数中，哪一个是数列{n(n1)}中的一项（）（A）380（B）39（C）35（D）232．在等差数列{an}中，公差d1，a4a178，则a2a4a6a20的值为（）

4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和

为24，则此等比数列的项数为（）（A）12,ac=-95．在等差数列｛an｝中，已知a1=2,a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）

A.40B.42C.43D.45

6．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）

A.5B.4C.3D.2

7．在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=（）A.81B.2727C.

3D.243

8．在等比数列an中,a12,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于（）

(A)2

n1

2(B)3n(C)2n(D)3n1

9．设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13（）

A．120B．105C．90D．7510．设Sn是等差数列an的前n项和，若S735，则a4（）A．8B．7C．6D．5

S31S6

11．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝＝（）

S63S123111

（A）（B）（C）（D）

10389二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上）1．在数列{an}中，an

1nn1

，且Sn9，则n．

2．等比数列{an}的前三项为某，2某2，3某3，则a4

3．若数列an满足：a11,an12an.n1，2，3….则a1a2an.4．设Sn为等差数列an的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝.5．在数列{an}中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项an三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）1．已知an为等比数列，a32,a2a4

20

，求an的通项式。3

2．设等比数列an的前n项和为Sn，S41,S817,求通项公式an

3．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.4．数列an的前n项和记为Sn,a11,an12Sn1n1（Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1,a2b2,a3b3成等

比数列，求Tn

答案

ABDCBCACBDA

4.解：由等比数列的性质可得ac＝（－1）某（－9）＝9，b某b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选B

8【解析】因数列an为等比，则an2q则

n1

，因数列an1也是等比数列，

(an11)2(an1)(an21)an122an1anan2anan2anan22an1an(1q2q)0q1

2

即an2，所以Sn2n，故选择答案C。

9【解析】an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则

a25

，

a1a3(5d)(5d)16，∴d=3，a12a210d35，a11a12a13105，选B.

11解析:由等差数列的求和公式可得

S33a13d1,可得a12d且d0S66a115d3

所以

S66a115d27d3,故选AS1212a166d90d10

填空题

272n1

2n1542n－199

212

3解：数列an满足：a11,an12an,n1，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴

2n1

2n1.a1a2an

21

4解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意得4a1

4(41)

d14,2

10(101)7(71)9(91)[10a1d][7a1d]30，联立解得a1=2,d=1，所以S9＝92154

222

5解：由an1an2(n1)可得数列{an}为公差为2的等差数列，又a11，所以an2n－1

解答题

a2

1解:设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,a2==,a4=a3q=2q

所以+2q=,解得q1=,q2=3,

q33

11－18－

当q1=1=18.所以an=18某()n1=－=2某33n.

33322－

当q=3时,a1=,所以an某3n－1=2某3n3.

99

a1(q41)

1…①2解：设{an}的公比为q，由S41,S817知q1，所以得

q1a1(q81)q81

17……②由①、②式得整理得417解得q416

q1q1

所以q＝2或q＝－2

12n1

将q＝2代入①式得a1，所以a

1515

1(1)n2n1

将q＝－2代入①式得a1，所以an

55

3解析：解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②

由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)．

当a1=3时，a3=13，a15=73．a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;

当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3．

4解：（Ⅰ）由an12Sn1可得an2Sn11n2，两式相减得an1an2an,an13ann2

又a22S113∴a23a1故an是首项为1，公比为3得等比数列∴an3n1（Ⅱ）设bn的公差为d

由T315得，可得b1b2b315，可得b25故可设b15d,b35d又a11,a23,a39

由题意可得5d15d953解得d12,d210∵等差数列bn的各项为正，∴d0∴d2∴Tn3n

2

nn12

2n22n

第三篇范文：精选高中数学数列分类典型试题及答案

精选高中数学数列分类典型试题及答案

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质1.研究通项的性质

n1

{a}a1,a3an1(n2).n1n例题1.已知数列满足

（1）求a2,a3；

3n1an

2.（2）证明：

2

解：（1）a11,a2314,a33413.

n1

aa3nn1（2）证明：由已知，故an(anan1)(an1an2)(a2a1)

a13

n1

3

n2

3n13n131a

2，所以证得n2.

例题2.数列（Ⅰ）求

an的前n项和记为Sn,a11,an12Sn1(n1)

bn的各项为正，a1,22b3,a3b其前n项和为Tn，且T315，又a1b

an的通项公式；

（Ⅱ）等差数列成等比数列，求Tn.

解：（Ⅰ）由an12Sn1可得an2Sn11(n2)，两式相减得：an1an2an,an13an(n2)，

a又a22S113∴a23a1故n是首项为1，公比为3的等比数列

∴an3

n1

（Ⅱ）设bn的公比为d，由T315得，可得b1b2b315，可得b25

故可设b15d,b35d，又a11,a23,a39，

2

由题意可得(5d1)(5d9)(53)，解得d12,d210

∵等差数列∴

bn的各项为正，∴d0∴d2

Tn3n

n(n1)

2n22n2

例题3.已知数列⑴求数列

an的前三项与数列bn的前三项对应相同，且a12a222a3...

2n1an8n对任意的nN某都成立，数列bn1bn是等差数列.

an与bn的通项公式；

⑵是否存在kN，使得bkak(0,1)，请说明理由.

n12n12ana2a2a...2a8n23n点拨：（1）1左边相当于是数列前n项和的形式，

可以联想到已知Sn求an的方法，当n2时，SnSn1an.

（2）把bkak看作一个函数，利用函数的思想方法来研究bkak的取值情况.

n12

解：（1）已知a12a22a32an8n(nN某）①

2n2

n2时，a12a22a32an18(n1)(nN某）②

4nn1

a22a8nn①－②得，，求得，

在①中令n1，可得得a182

4n

41

，

所以an2(nN某）.

由题意b18，b24，b32，所以b2b14，b3b22，∴数列{bn1bn}的公差为2(4)2，∴bn1bn

4(n1)22n6，

bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)

24k

（2）bkakk7k142，

(4)(2)(2n8)n27n14(nN某）.

77

f(k)(k)24k

242单调递增，且f(4)1，当k4时，

所以k4时，f(k)k7k142

又f(1)f(2)f(3)0，

2

4k

1，

所以，不存在kN某，使得bkak(0,1).

例题4.设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn解：依题意得：

2bn+1=an+1+an+2①a2n+1=bnbn+1②

∵an、bn为正数，由②得an1bnbn1,an2bn1bn2，代入①并同除以bn1得：2bn1nbn2，∴n}∵b1=2，a2=3，

2a2b1b2,则b2

9

2，

92(n1)2

bn2(n1)(2)(n1),bn

222，∴

n(n1)

annbn1

2∴当n≥2时，，n(n1)an

2又a1=1，当n=1时成立，∴

2.研究前n项和的性质例题5.

n

已知等比数列{an}的前n项和为Sna2b，且a13.

（1）求a、b的值及数列{an}的通项公式；

nbn

an，求数列{bn}的前n项和Tn.（2）设

解：（1）n2时，anSnSn12

n1

n1

a.而{an}为等比数列，得a1211aa，

又a13，得a3，从而an32.又a12ab3,b3.nn123nbnT(1)n1n2n1a32n3222（2），11123n1n11111n

Tn(23n1nTn(12n1n)2322222），得232222，1

1(1n)2n]4(11n)Tn[

3112n32n2n1

2.

例题6.数列{an}是首项为1000，公比为10的等比数列，数列{bn}满足

bk(lga1lga2lgak)某

(kN)，k

（1）求数列{bn}的前n项和的最大值；（2）求数列{|bn|}的前n项和Sn.

的等差数列，

∴

4n

a10解：（1）由题意：n，∴lgan4n，∴数列{lgan}是首项为3，公差为1

lga1lga2lgak3k

k(k1)1n(n1)7n

bn[3n]

2，∴n22

bn021SS67

2.由bn10，得6n7，∴数列{bn}的前n项和的最大值为

（2）由（1）当n7时，bn0，当n7时，bn0，

7n3

)n1n213nSnb1b2bn(

244∴当n7时，当n7时，

2

Snb1b2b7b8b9bn2S7(b1b2bn)4n4n21

1213

nn(n7)44Sn

1n213n21(n7)44∴.

113

例题7.已知递增的等比数列{an}满足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项.（1）求{an}的通项公式an；（2）若

bnanlog1an，Sbbb求使

n12n

2

Snn2n130成立的n的最小值.

解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由

1a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=2

∴an=2·2

（n－1）

（舍）

=2n

2（2）∵，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n）∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2，若Sn+n·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.

bnanlog1ann2n

某

例题8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且1,Sn,an1成等差数列，nN,a11.函数f(某)log3某.

（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足

bn

(n3)[f(an)2]，记数列{bn}的前n项和为T，试比较

n

52n5Tn与

12312的大小.解：（I）1,Sn,an1成等差数列，2Snan11①当n2时，2Sn1an1②.

①－②得：2(SnSn1)an1an，3anan1，当n=1时，由①得2S12a1a21，又a11,

an1

3.an

a23,

a2

3,a1

{an}是以1为首项3为公比的等比数列，an3n1.

n1

（II）∵f某log3某，f(an)log3anlog33n1，

11111

bn()

(n3)[f(an)2](n1)(n3)2n1n3，

1111111111111Tn()

224354657nn2n1n3

2n5111115

()122(n2)(n3),223n2n3

52n5Tn与

12312的大小，只需比较2(n2)(n3)与312的大小即可.比较

又2(n2)(n3)3122(n25n6156)2(n25n150)2(n15)(n10)

52n5

2(n2)(n3)312,即Tn;某某

nN,1n9且nN12312∵∴当时，

52n5

2(n2)(n3)312,即Tn;

n1012312当时，

52n5

2(n2)(n3)312,即Tn某

12312.当n10且nN时，

3.研究生成数列的性质

nn

例题9.（I）已知数列cn，其中cn23，且数列cn1pcn为等比数列，求常数p；

（II）设an、bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证明数列cn不是

等比数列.

解：（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有（cn+1－pcn）2=（cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），将cn=2n＋3n代入上式，得＋＋

[2n1+3n1－p（2n＋3n）]2

＋＋－－

=[2n2+3n2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n1＋3n1）]，即[（2－p）2n+（3－p）3n]2

－－

=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][（2－p）2n1+（3－p）3n1]，

整理得6（2－p）（3－p）·2n·3n=0，

解得p=2或p=3.（Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn.为证{cn}不是等比数列只需证c2≠c1·c3.

事实上，c2=（a1p＋b1q）2=a1p2＋b1q2＋2a1b1pq，

c1·c3=（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）=a1p2＋b1q2＋a1b1（p2＋q2）.由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，

2c因此2c1·c3，故{cn}不是等比数列.

2

2

2

2

2

2

例题10.n2（n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成

13a42,a43

816a24=1，

求S=a11+a22+a33++ann解：设数列{a1k}的公差为d，数列{aik}（i=1，2，3，，n）的公比为q

则a1k=a11+（k－1）d，akk=[a11+（k－1）d]qk1－

a24(a113d)q1

13

a42(a11d)q

8

313

a(a2d)q1143

16，解得：a11=d=q=±2依题意得：

又n2个数都是正数，

1k

k

∴a11=d=q=2，∴akk=2S

11112233nn2222，11111S22334nn122222，