一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|x＜4}，则A∩B＝（ ） A．{﹣1，0}
B．{0，1}
C．{﹣1，0，1}
D．{0，1，2}
2．已知一组数据：1，2，2，3，3，3，则这组数据的中位数是（ ） A．2
→
B．3
→
7
C．2 5
D．3
3．已知向量𝑎=(2，0)，𝑏=(1，1)，则下列结论正确的是（ ） A．𝑎⋅𝑏=1
→
B．𝑎∥𝑏
→
→
C．|𝑎|=|𝑏|
→
→
D．(𝑎−𝑏)⊥𝑏
→
→→
4．已知复数z在复平面上对应的点为（m，1），若iz为实数，则m的值为（ ） A．﹣1
B．0
C．1
D．1或﹣1
5．下列函数中，值域为（1，+∞）的是（ ） A．y＝2x+1
B．𝑦=
1𝑥+1
C．y＝log2|x| D．y＝x2+1
6．若数列{an}满足：a1＝1，2an+1＝2an+1（n∈N*），则a1与a5的等比中项为（ ） A．±2
B．2
C．±√3
D．√3
7．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥体积为（ ）
A．4
→
→
B．10
→
→
→
→
C．12
→
→
D．30
8．设𝑎，𝑏为非零向量，则“|𝑎+𝑏|＜|𝑎|+|𝑏|”是“𝑎与𝑏不共线”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
9．动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离．经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（ ） A．7
B．9 C．11
1
D．13
10．某种新产品的社会需求量y是时间t的函数，记作：y＝f（t）．若f（0）＝y0，社会需求量y的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，f（t）的导函数f'（t）满足：f'（t）＝kf（t）（500﹣f（t））（k为正的常数），则函数f（t）的图象可能为（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．①②③
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11．抛物线y2＝x的焦点到其准线的距离等于 ．
12．已知f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx，则f（﹣e）＝ ． 13．在△ABC中，若a＝2，𝑐𝑜𝑠𝐵=−
𝑥2
√2，△ABC2
的面积为1，则b＝ ．
14．圆心在x轴上，且与双曲线3−𝑦2=1的渐近线相切的一个圆的方程可以是 ．
2𝑥，𝑥≤𝑎，15．已知a≥0，函数𝑓(𝑥)={若a＝0，则f（x）的值域为 ；若方程f（x）﹣2＝0恰有
√𝑥，𝑥＞𝑎．一个实根，则a的取值范围是 ．
16．小明用数列{an}记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1，当第k天没下过雨时，记ak＝﹣1（1≤k≤31）；他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1，当预报第k天没有雨时，记bk＝﹣1（1≤k≤31）；记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为 ；若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，则气象台预报准确的天数为 （用m，k表示）． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2
17．（13分）已知函数f（x）=√3sinxsin（−x）+sin2x−．
2
2
𝜋1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅰ）求f（x）在区间[0，]上的最大值．
2𝜋
18．（13分）如图是2019年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图． （Ⅰ）从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；
（Ⅰ）从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过140的天数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅰ）根据这20天统计数据，预测今后该地区甲流疫情的发展趋势．
19．（13分）已知数列{an}为等比数列，且an＞0，数列{bn}满足bn＝log2an．若b1＝4，b2＝3． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅰ）设数列{bn+m}前n项和为Sn，若当且仅当n＝5时，Sn取得最大值，求实数m的取值范围． 20．（14分）如图，在四棱锥C﹣ABEF中，平面ABEF⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，AB∥EF，∠ABE＝90°，BE＝EF＝1，点M为BC的中点． （Ⅰ）求证：EM∥平面ACF； （Ⅰ）求证：AM⊥CE；
（Ⅰ）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．
21．（13分）已知椭圆C：𝑎2+𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)的离心率为2，过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅰ）已知点A（1，0），B（4，0），过点A的任意一条直线l与椭圆C交于M，N两点，求证：|MB|•|NA|
3
𝑥2
𝑦2
√2＝|MA|•|NB|．
22．（14分）已知函数f（x）＝x2ex． （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅰ）过点P（1，0）存在几条直线与曲线y＝f（x）相切，并说明理由； （Ⅰ）若f（x）≥k（x﹣1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．【详解详析】集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}，则A∩B＝{0，1，2}，故选：D．
2．【详解详析】数据从小到大排列为1，2，2，3，3，3， 则这组数据的中位数是1
5
2
×（2+3）=2
．
故选：C．
3．【详解详析】因为𝑎→
=(2，0)，𝑏→
=(1，1)，
则𝑎→
⋅𝑏→
=2×1+0×1＝2，A错误；2×1﹣0×1≠0，故B错误； |𝑎→
|＝2，|𝑏→
|=√2，故C错误；
→𝑎−𝑏→=（1，﹣1），𝑏→
⋅(𝑎→
−𝑏→
)=𝑎→
⋅𝑏→−𝑏→
2=2﹣2＝0． 故（𝑎→
−𝑏→
）⊥𝑏→
，D正确． 故选：D．
4．【详解详析】由题意，z＝m+i， 再由iz＝i（m+i）＝﹣1+mi为实数， 得m＝0． 故选：B．
5．【详解详析】∵2x＞0，
∴2x+1＞1，即y＝2x+1的值域为（1，+∞）． 故选：A．
6．【详解详析】由2an+1＝2an+1，得an+1﹣an=1
2， 又a1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，以1
2为公差的等差数列，
4
则𝑎5=𝑎1+4𝑑=1+4×=3．
2
1
∴a1与a5的等比中项为±√3． 故选：C．
7．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：
该几何体为四棱锥体：𝑉=3×2(1+4)×4×3=10． 故选：B．
8．【详解详析】𝑎与𝑏不共线，则“|𝑎+𝑏|＜|𝑎|+|𝑏|”，反之不成立，例如反向共线时． ∴“|𝑎+𝑏|＜|𝑎|+|𝑏|”是“𝑎与𝑏不共线”的必要不充分条件． 故选：B．
9．【详解详析】根据题意，分4种情况讨论：
①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，
②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，
③，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2， ④，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，
故M在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个， 故选：D．
10．【详解详析】因为f'（t）＝kf（t）（500﹣f（t）），
令f'（t）＝0，则f（t）＝0或500，即当f（t）＝0或500时，曲线的切线斜率接近0， 由选项可知，只有①③符合题意， 故选：B．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11．【详解详析】抛物线y2＝x中2p＝1，∴p＝0.5
5
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
1
1
∴抛物线y2＝x的焦点和准线的距离等于0.5 故答案为：0.5
12．【详解详析】∵f（x）是偶函数，且x＞0时，f（x）＝lnx， ∴f（﹣e）＝f（e）＝lne＝1． 故答案为：1．
13．【详解详析】由𝑐𝑜𝑠𝐵=−
12
12
√2可得2
sinB=
√2， 2
因为S△ABC=𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=×2𝑐×所以c=√2，
由余弦定理可得cosB=−解可得，b=√10． 故答案为：√10
√22
√22
=1，
=
4+2−𝑏24√2，
14．【详解详析】双曲线的渐近线方程为：y＝±3x，设圆的圆心为（2m，0），m≠0， 则圆的半径为：|
2√3𝑚|3√31√1+
3=|m|，
所以所求圆的方程为：（x﹣2m）2+y2＝m2，m≠0，
故答案为：满足方程：（x﹣2m）2+y2＝m2的任意m（m≠0）均可． 15．【详解详析】当a＝0时，f（x）={当x＞0时，f（x）=√𝑥＞0，
故a＝0时，f（x）的值域为（0，+∞）；
当方程f（x）﹣2＝0恰有一个实根即函数f（x）与y＝2图象只有一个交点， 如图： 由图可知，{
𝑎≥0，，解之得0≤a＜1，故a的取值范围是[0，1），
2𝑎＜2
2𝑥，𝑥≤0√𝑥，𝑥＞0
，当x≤0时，f（x）＝2x∈（0，1]，
故答案为（0，+∞），[0，1）．
6
16．【详解详析】依题意，若akbk＝1（1≤k≤31），则表示第k天预报正确，若akbk＝﹣1（1≤k≤31），则表示第k天预报错误， 若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，
假设其中有x天预报正确，即等式的左边有x个1，（k﹣x）个﹣1，则x﹣（k﹣x）＝m，解得𝑥=即气象台预报准确的天数为
𝑚+𝑘2
𝑚+𝑘2
，；
31+252
于是若a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，则气象台预报准确的天数为故答案为：28，
𝑚+𝑘2
=28．
．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【详解详析】（Ⅰ）因为f（x）=√3sinxsin（2−x）+sin2x−2=√3𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+=
√3𝑠𝑖𝑛2𝑥2
𝜋
1
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
−2，
1
−2𝑐𝑜𝑠2𝑥=sin（2x−6），
1𝜋
所以f（x）的最小正周期为T＝π， （Ⅰ）因为0≤𝑥≤𝜋，
21
所以−6≤2𝑥−6≤
𝜋
1
𝜋𝜋5𝜋6
，
1
于是，当2x−6=2𝜋即x=3𝜋时，函数取得最大值1． 18．【详解详析】（Ⅰ）由图知，在统计出的20天中， 新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天，
设事件A为“从这20天中任取1天，新增确诊和新增疑似的人数都超过100”， 则P（A）=20．
7
3
（Ⅰ）由图知，新增确诊的日期中人数超过100的有6天中，有2天人数超过140， 所以X的所有可能值为0，1，2． 所以P（X＝0）=𝐶42=5，
6
𝐶2
2
P（X＝1）=
1𝐶1𝐶242𝐶6
=
1
815
，
P（X＝2）=𝐶2=15．
6
2𝐶2
所以X的分布列为 X P
0
2
525
1
8 15815
2
1 15+2×
115
所以X的数学期望为E（X）=0×+1×=．
3
2
（Ⅰ）预测一：新增确诊和新增疑似的人数逐渐减少． 预测二：新增确诊和新增疑似的人数每天大致相当． 预测三：该地区甲流疫情趋于减缓．
预测四：该地区甲流疫情持续走低，不会爆发．
（答案不唯一，只要结论是基于图表的数据得出的，都给分）． 19．【详解详析】（Ⅰ）由题意，设等比数列{an}的公比为q，则 b1＝log2a1＝4，即a1＝24＝16． b2＝log2a2＝3，即a2＝23＝8． ∴q=𝑎2=16=2．
1
𝑎81
∴数列{an}的通项公式为an＝16•（）n1＝25n，n∈N*．
2
1
﹣﹣
（Ⅰ）由（Ⅰ）知，bn＝log225n＝5﹣n． 故bn+m＝5﹣n+m． ∴数列{bn+m}是等差数列．
∵当且仅当n＝5时，数列{bn+m}的前n项和Sn取得最大值， ∴{
𝑏5+𝑚＞05−5+𝑚＞0
，即{．
𝑏6+𝑚＜05−6+𝑚＜0
﹣
解得0＜m＜1．
∴实数m的取值范围是（0，1）．
20．【详解详析】（Ⅰ）证明：取AC中点D，连结DM，DF，
8
在三角形ABC中，DM∥AB且DM=𝐴𝐵，
2
1
又因为AB＝2EF＝1，
所以EF=2𝐴𝐵，又因为EF∥AB 所以DMEF为平行四边形， 所以EM∥FD，
又因为EM⊄平面ACF，DF⊂平面ACF， 所以EM∥平面ACF；
（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结OC，OF， 因为三角形ABC是等边三角形 所以AB＝2，CO⊥AB，
因为四边形ABEF满足AB∥EF，∠ABE＝90°，EF＝BF＝1， 所以FB＝FA=√2，FO⊥AB， 又因为平面ABEF⊥平面ABC， 所以OF⊥平面ABC，
以OC，OB，OF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则
→1√3A（0，﹣1，0），M（，，0），C（√3，0，0），E（0，1，1），𝐴𝑀
22
→
→1
=
→3√3(，，0)，𝐶𝐸22
=(−√3，1，1)
所以𝐴𝑀⋅𝐶𝐸=0 所以AM⊥CE；
（Ⅰ）由（Ⅰ）知，AM⊥CE， 由已知可得AM⊥BC， 所以AM⊥平面BCE，
所以𝐴𝑀是平面BCE的法向量，
又𝐵𝐶=(√3，−1，0)，𝐵𝐹=(0，−1，1)， 设平面BCF的法向量为𝑚=(𝑥，𝑦，𝑧)， ⋅𝐵𝐶=0，即{√3𝑥−𝑦=0， 则{𝑚→→−𝑦+𝑧=0𝑚⋅𝐵𝐹=0令x＝1，得𝑚=(1，√3，√3)， 由cos＜𝐴𝑀，𝑚＞=
→
→
3√3⋅1+⋅√322→
→→
→
→
→
→
√3⋅√7=
2√7， 7
9
又因为二面角E﹣BC﹣F为锐二面角， 所以二面角E﹣BC﹣F的余弦值为
2√7． 7
21．【详解详析】（Ⅰ）因为𝑎2+𝑏2=1，令x＝c，得𝑦2=𝑎2， 由已知又𝑎=
𝑐
𝑏2𝑎
𝑥2
𝑦2
𝑏4
=1，
√2，a2＝b2+c2， 2
解得a＝2，𝑏=√2， 所以椭圆的方程为4+
𝑥2
𝑦22
=1．
|𝑀𝐴||𝑁𝐴|
（Ⅰ）要证明|MB|•|NA|＝|MA|•|NB|，只需证明=
|𝑀𝐵||𝑁𝐵|
，
|𝑀𝑀′||𝑁𝑁′|
过M，N分别作x轴的垂线段MM'，NN'，易得：|𝑁𝐴|=所以只需证明|𝑁𝐵|=
|𝑀𝐵|
|𝑀𝑀′||𝑁𝑁′|
|𝑀𝐴|
，
，
所以只需证明∠MBA＝∠NBA，只需证明kMB+kNB＝0． 当直线l的斜率不存在时，易得|MB|•|NA|＝|MA|•|NB|．
当直线l的斜率存在时，不妨设其为k，则直线l的方程为y＝k（x﹣1）， =12联立{4消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0， 𝑦=𝑘(𝑥−1)设M（x1，y1），N（x2，y2），则𝑥1+𝑥2=2𝑘2+1，𝑥1𝑥2=2𝑘2+1， 直线MB的斜率𝑘𝑀𝐵=𝑘𝑀𝐵+𝑘𝑁𝐵==
𝑘(𝑥1−1)𝑥1−4
𝑘(𝑥1−1)𝑥1−4𝑘(𝑥2−1)𝑥2−4𝑘(2⋅
4𝑘2
2𝑘2−4
𝑥2
+
𝑦2
，直线NB的斜率𝑘𝑁𝐵==
(𝑥1−4)(𝑥2−4)
𝑘(𝑥2−1)𝑥2−4
，
+=
𝑘(𝑥1−1)(𝑥2−4)+𝑘(𝑥2−1)(𝑥1−4)
𝑘[2𝑥1𝑥2−5(𝑥1+𝑥2)+8]
(𝑥1−4)(𝑥2−4)
2𝑘2−44𝑘2
−5⋅+8)2𝑘2+12𝑘2+1
(𝑥1−4)(𝑥2−4)
=0．
综上所述，|MB|•|NA|＝|MA|•|NB|． 22．【详解详析】（共14分）
10
解：（Ⅰ）f′（x）＝（x2+2x）ex＝x（x+2）ex………………（1分） f′（x）＞0得，x＜﹣2或x＞0；
f′（x）＜0得，﹣2＜x＜0；………………（2分）
所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；单调减区间为（﹣2，0）………（3分） （Ⅰ）过（1，0）点可做f（x）的三条切线；理由如下：………………（1分） 设切点坐标为（x0，𝑥02𝑒𝑥0），过切点的切线方程为 y−𝑥02𝑒𝑥0=（𝑥02+2x0）𝑒𝑥0（x﹣x0）………………（2分） 切线过（1，0）点，代入得−𝑥02𝑒𝑥0=（𝑥02+2x0）𝑒𝑥0（1﹣x0）， 化简得x0（x0+√2）（x0−√2）𝑒𝑥0=0，…………（3分）
方程有三个解，x0＝0，x0=−√2，x0=√2，即三个切点横坐标，………… 所以过（1，0）点可做f（x）的三条切线．
（Ⅰ）设g（x）＝x2ex﹣k（x﹣1），………………（1分） 方法1
1°k＝0时，x2ex≥k（x﹣1）成立；………………（1分） 2°k＜0时，若x，f（0）＝0＞k（0﹣1）不成立， 所以k＜0不合题意．………………（2分）
3°k＞0时，x≤1时，h（x）＞0显然成立，只需考虑x＞1时情况； 转化为𝑥−1≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立．………………（3分） 令h（x）=h′（x）=
𝑥2𝑒𝑥𝑥−1
𝑥2𝑒𝑥
（x＞1），
=
𝑥(𝑥+√2)(𝑥−√2)𝑒𝑥
(𝑥−1)2(𝑥2+2𝑥)𝑒𝑥(𝑥−1)−𝑥2𝑒𝑥
(𝑥−1)2，………………（3分）
当1＜x＜√2时，h′（x）＜0，h′x）单调减； 当x＞√2时，h′（x）＞0，h（x）单调增； 所以h（x）min＝h（√2）=所以k≤（2+2√2）𝑒√2．
综上，k的取值范围是[0，（2+2√2）𝑒√2]………………（7分） 方法2：不用讨论k，只讨论x． 1°x＝1，成立；………………（1分）
2°x＞1转化为𝑥−1≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立………………（2分） 令h（x）=
𝑥2𝑒𝑥𝑥−1𝑥2𝑒𝑥
2𝑒√2√2−1=（2+2√2）𝑒√2≥k，………………
（x＞1），
11
h′（x）=
(𝑥2+2𝑥)𝑒𝑥(𝑥−1)−𝑥2𝑒𝑥
√2)(𝑥−√2)𝑒𝑥
(𝑥−1)2
=
𝑥(𝑥+(𝑥−1)2
，………………（3分）
当1＜x＜√2时，h′（x）＜0，h（x）单调减； 当x＞√2时，h′（x）＞0，h（x）单调增； 所以h（x）min＝h（√2）=2𝑒√2√2−1=（2+2√2）𝑒√2≥k，………………
所以k≤（2+2√2）𝑒√2． 3°当x＜1时转化为𝑥2𝑒𝑥𝑥−1≤k对任意x∈（﹣∞，1）恒成立……………… 同2°，令h（x）=𝑥2𝑒𝑥𝑥−1
（x＜1）， h′（x）=𝑥(𝑥+√2)(𝑥−√2)𝑒𝑥
(𝑥−1)2，列下表
x （﹣∞，−√2） −√2 （−√2，0） 0 h′（x） ﹣ 0 + 0 h（x）
减
极小值 增
极大值
当x＜1时，易得h（x）=
𝑥2𝑒𝑥𝑥−1
≤0，
h（0）＝0，所以hmax＝h（0）＝0≤k；即k≥0，………………（6分） 综上，k的取值范围是[0，（2+2√2）𝑒√2]．………………（7分）
12
（0，1）﹣ 减
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